Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estima-se que
desses tanques apresentam vazamento. Você examina 15 tanques escolhidos ao acaso, independentes entre si.
Qual é a probabilidade de 10 ou mais dos 15 tanques apresentarem vazamento?
Qual é a probabilidade de 10 ou mais dos 15 tanques apresentarem vazamento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão fala sobre vazamentos em tanques de gasolina subterrâneos, onde 25% dos tanques têm vazamentos. Você vai examinar 15 tanques escolhidos ao acaso e quer saber qual a probabilidade de 10 ou mais desses tanques apresentarem vazamento.
Conteúdo da matéria: Probabilidade Binomial.
O que vamos precisar: Fórmula da distribuição binomial e entender como calcular a probabilidade de eventos independentes.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados: “sucesso” (vazamento) ou “fracasso” (sem vazamento).
Aqui, cada tanque examinado é uma tentativa:
- Sucesso (vazamento): probabilidade $ p = 0,25 $
- Fracasso (sem vazamento): probabilidade $ q = 1 - p = 0,75 $
- Número de tentativas: $ n = 15 $
- Número de sucessos que queremos: $ k \geq 10 $
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
- $ p^k $ é a probabilidade de termos $ k $ sucessos.
- $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de termos $ n - k $ fracassos.
Passo 4
Como queremos a probabilidade de 10 ou mais tanques vazarem, precisamos somar as probabilidades de exatamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 vazamentos:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial.
Passo 5
Vamos calcular $ P(X = 10) $:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Agora, substituímos os valores:
Passo 6
Repetindo o mesmo processo para $ P(X = 11) $:
Passo 7
Para $ P(X = 12) $:
Passo 8
Para $ P(X = 13) $:
Passo 9
Para $ P(X = 14) $:
Passo 10
Finalmente, para $ P(X = 15) $:
Resposta
Somando todas as probabilidades:
Então, a probabilidade de que 10 ou mais dos 15 tanques apresentem vazamento é de aproximadamente 0,79%.