Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estima-se que 25 % desses tanques apresentam vazamento. Você examina 15 tanques escolhidos ao acaso, independentes entre si.
Qual é a probabilidade de 10 ou mais dos 15 tanques apresentarem vazamento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão fala sobre vazamentos em tanques de gasolina subterrâneos, onde 25% dos tanques têm vazamentos. Você vai examinar 15 tanques escolhidos ao acaso e quer saber qual a probabilidade de 10 ou mais desses tanques apresentarem vazamento.
Conteúdo da matéria: Probabilidade Binomial.
O que vamos precisar: Fórmula da distribuição binomial e entender como calcular a probabilidade de eventos independentes.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados: “sucesso” (vazamento) ou “fracasso” (sem vazamento).
Aqui, cada tanque examinado é uma tentativa:
  • Sucesso (vazamento): probabilidade $ p = 0,25 $
  • Fracasso (sem vazamento): probabilidade $ q = 1 - p = 0,75 $
  • Número de tentativas: $ n = 15 $
  • Número de sucessos que queremos: $ k \geq 10 $

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p^k $ é a probabilidade de termos $ k $ sucessos.
  • $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de termos $ n - k $ fracassos.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de 10 ou mais tanques vazarem, precisamos somar as probabilidades de exatamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 vazamentos:
P(X >= 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) + P(X = 13) + P(X = 14) + P(X = 15)
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial.

Passo 5

Vamos calcular $ P(X = 10) $:
P(X = 10)
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
P(X = 10) = binom1510 (0,25)^10 (0,75)^5
Agora, substituímos os valores:
binom1510 = 3003

Passo 6

Repetindo o mesmo processo para $ P(X = 11) $:
P(X = 11)
P(X = 11) = binom1511 (0,25)^11 (0,75)^4
binom1511 = 1365

Passo 7

Para $ P(X = 12) $:
P(X = 12)
P(X = 12) = binom1512 (0,25)^12 (0,75)^3
binom1512 = 455

Passo 8

Para $ P(X = 13) $:
P(X = 13)
P(X = 13) = binom1513 (0,25)^13 (0,75)^2
binom1513 = 105

Passo 9

Para $ P(X = 14) $:
P(X = 14)
P(X = 14) = binom1514 (0,25)^14 (0,75)^1
binom1514 = 15

Passo 10

Finalmente, para $ P(X = 15) $:
P(X = 15)
P(X = 15) = binom1515 (0,25)^15 (0,75)^0
binom1515 = 1

Resposta

Somando todas as probabilidades:
P(X >= 10) approx 0,0067 + 0,0010 + 0,0001 + 0,0001 + 0,0000 + 0,0000 = 0,0079
Então, a probabilidade de que 10 ou mais dos 15 tanques apresentem vazamento é de aproximadamente 0,79%.

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