Você está planejando uma pesquisa amostral de pequenas empresas em sua área. Você irá selecionar uma AAS (amostragem aleatória simples) de empresas listadas no catálogo telefônico. A experiência mostra que apenas cerca de metade das empresas que você contata respondem.
Se você contatar 150 empresas, é razoável usar a distribuição binomial com n=150 e p=0,5 para o número X das que respondem. Explique por quê.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Você está planejando fazer uma pesquisa com pequenas empresas na sua área, usando uma amostragem aleatória simples (AAS) a partir do catálogo telefônico. A experiência mostra que, em média, metade das empresas que você contata respondem. Você planeja contatar 150 empresas e quer saber se é apropriado usar a distribuição binomial com $ n = 150 $ e $ p = 0,5 $ para modelar o número de respostas, que vamos chamar de $ X $.
Conteúdo da Matéria: Distribuição Binomial na probabilidade e estatística.
O que Precisamos: Entender quando a distribuição binomial é adequada e verificar se as condições para usá-la estão presentes nesse cenário.

Passo 2

Entendendo a Distribuição Binomial: A distribuição binomial é usada para modelar o número de sucessos em uma série de experimentos independentes, onde cada experimento tem apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No seu caso, cada empresa contatada representa um experimento, onde “responder” é o sucesso e “não responder” é o fracasso.
A distribuição binomial é definida por dois parâmetros:
  • $ n $: número total de experimentos (neste caso, o número de empresas contatadas).
  • $ p $: probabilidade de sucesso em cada experimento (a probabilidade de uma empresa responder).

Passo 3

Verificando as Condições para a Distribuição Binomial:
  1. Número Fixo de Experimentos ($ n $): Você tem um número fixo de empresas para contatar, que é 150. Portanto, $ n = 150 $ está definido.
  2. Ensaios Independentes: Cada contato com uma empresa é independente dos outros. Uma empresa responder ou não não afeta a probabilidade de outra empresa responder.
  3. Dois Resultados Possíveis: Para cada empresa contatada, há apenas dois resultados possíveis: responder (sucesso) ou não responder (fracasso).
  4. Probabilidade Constante de Sucesso ($ p $): A probabilidade de uma empresa responder é sempre 0,5 (50%) em cada contato.

Passo 4

Aplicando à Situação: Como todas as condições para usar a distribuição binomial estão atendidas — número fixo de experimentos, independência entre os ensaios, apenas dois resultados possíveis e probabilidade de sucesso constante — podemos concluir que é adequado usar a distribuição binomial com $ n = 150 $ e $ p = 0,5 $ para modelar o número de respostas $ X $.

Resposta

Sim, é apropriado usar a distribuição binomial com $ n = 150 $ e $ p = 0,5 $ para o número de empresas que respondem, pois todas as condições necessárias estão satisfeitas nesse caso.

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