Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular com raio de 10 cm , e seja a distância, em cm, do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de é
d) Calcule a esperança, a variância e o desvio padrão de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um alvo circular de raio 10 cm e quando atiramos um dardo, a distância do ponto atingido até o centro do alvo segue uma distribuição de probabilidade contínua. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por:
Para resolver a parte d), a gente precisa calcular a esperança (média), a variância e o desvio padrão de . Vamos precisar usar algumas fórmulas básicas de estatística para distribuições contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de . Sabemos que a integral da f.d.p. em todo o espaço deve ser igual a 1. Então, temos:
Vamos resolver essa integral para encontrar .
Passo 3
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Agora que encontramos , vamos calcular a esperança . A fórmula para a esperança de uma variável contínua ��:
Calculando a integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular para encontrar a variância. A fórmula é:
Calculando a integral:
Agora, a variância é:
Passo 6
Por fim, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A esperança de é cm (aproximadamente 6,666 cm), a variância é cm² (aproximadamente 5,555 cm²) e o desvio padrão é cm (aproximadamente 2,357 cm).