Seja a velocidade do vento (em milhas por hora) e suponha que seja uma v.a. com f.d.p. dada por
A pressão, digamos (em libras/pé quadrado), na superfície da asa de um avião, é dada pela relação
b) Obtenha o valor esperado da pressão .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a velocidade do vento, representada por , que segue uma distribuição de probabilidade com função densidade dada. A pressão na asa de um avião depende dessa velocidade através da fórmula . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado da pressão , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado de uma variável aleatória é uma média ponderada de todos os possíveis valores que essa variável pode assumir, multiplicados pela sua probabilidade. No nosso caso, queremos encontrar . Sabemos que , então podemos usar a propriedade da esperança matemática que diz que , onde é uma constante e é uma variável aleatória. Assim:
Então, nosso próximo passo é encontrar .
Passo 3
Para calcular , precisamos integrar multiplicado pela função densidade de em todo o seu domínio. A função densidade de é:
Então, a expectativa é dada por:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. Simplificando a expressão:
A integral de em relação a é . Então:
Passo 5
Agora que temos , vamos voltar à expressão original para :