Suponha que a faixa de frequências de um determinado tipo de sensor seja de 0 a 5 kHz . Ao analisar o espectro de frequências do circuito de amplificação do sensor, observou-se que havia frequências em uma faixa bem mais ampla. Essas frequências indesejáveis estão provocando mau funcionamento do circuito amplificador onde o sensor está conectado. Diante desse fato, projete um filtro de Butterworth de 2 polos para eliminar as frequências indesejáveis a partir de 5 kHz . A amplitude do sinal de saída do filtro deve ser a mesma do sinal do sensor, de modo a não comprometer os ajustes do amplificador.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um sensor que funciona bem entre 0 e 5 kHz, mas o circuito amplificador está captando frequências além disso, o que está bagunçando tudo. Então, precisamos criar um filtro de Butterworth de 2 polos que bloqueie essas frequências indesejadas acima de 5 kHz. O legal desse filtro é que ele não vai alterar a amplitude do sinal do sensor, garantindo que os ajustes do amplificador fiquem certinhos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um filtro de Butterworth. Esse tipo de filtro é conhecido por ter uma resposta em frequência bem “lisa”, ou seja, ele não tem ondulações na faixa que a gente quer passar (passband). No nosso caso, queremos deixar passar de 0 a 5 kHz e bloquear o resto. Como estamos lidando com frequências acima de 5 kHz, vamos fazer um filtro passa-baixa.
Passo 3
Agora, vamos determinar a frequência de corte do nosso filtro. A frequência de corte é o ponto onde o filtro começa a atenuar o sinal. Aqui, queremos que o corte seja exatamente em 5 kHz. Para trabalhar com fórmulas, é mais fácil usar a frequência angular, que é
. Então:
Passo 4
Com a frequência de corte definida, vamos montar a função de transferência do filtro de Butterworth de 2 polos. A forma geral para um filtro passa-baixa de Butterworth de 2ª ordem é:
Aqui,
é a variável complexa da transformação de Laplace. Essa equação garante que temos um filtro com resposta máxima plana na faixa de passagem e atenua as frequências acima de 5 kHz.
Passo 5
Por último, vamos garantir que a amplitude do sinal de saída seja a mesma do sinal do sensor. No filtro de Butterworth, isso é conseguido ajustando o ganho para que, na frequência zero (DC), a amplitude seja 1 (ou 0 dB). Nosso filtro já está configurado dessa forma, então não precisamos fazer ajustes adicionais.
Resposta
O filtro de Butterworth de 2 polos deve ter a seguinte função de transferência:
onde
. Esse filtro passa-baixa eliminará as frequências indesejáveis acima de 5 kHz mantendo a amplitude do sinal original.