Suponha que a idade média de vida de uma amostra de árvores seja de 800 anos, com um desvio padrão de 250 anos. Se uma nova árvore é encontrada e estima-se que ela tenha 900 anos de idade, qual a probabilidade dela ser a mais antiga da região? Utilize um nível de confiança de 95%. Considere que a distribuição das idades das árvores é normal.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de árvores onde a idade média é de 800 anos e o desvio padrão é de 250 anos. Descobrimos uma nova árvore que aparenta ter 900 anos e queremos saber qual a probabilidade dela ser a mais antiga da região, usando um nível de confiança de 95%. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística sobre distribuições normais e calcular probabilidades associadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição das idades das árvores. Como foi dito que a distribuição é normal, podemos usar a média (μ) de 800 anos e o desvio padrão (σ) de 250 anos para modelar essa distribuição.
Passo 3
Queremos saber a probabilidade de uma árvore ter 900 anos ou mais. Para isso, vamos calcular o escore z, que nos ajuda a determinar onde o valor de 900 anos está nessa distribuição.
A fórmula do escore z é:
Onde:
- $ X $ é o valor que estamos avaliando (900 anos)
- $ \mu $ é a média (800 anos)
- $ \sigma $ é o desvio padrão (250 anos)
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora que temos o escore z de 0,4, precisamos encontrar a probabilidade de uma árvore ter menos de 900 anos. Isso é dado pela função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição normal.
Usando tabelas de distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 65,54% de chance de uma árvore da região ter menos de 900 anos.
Passo 5
Queremos a probabilidade de que a nova árvore de 900 anos seja a mais antiga, ou seja, que todas as outras árvores tenham menos de 900 anos. Se considerarmos que temos $ n $ árvores na região (incluindo a nova), a probabilidade de cada uma das outras $ n-1 $ árvores ter menos de 900 anos é de 65,54%.
Então, a probabilidade de todas as $ n-1 $ árvores terem menos de 900 anos é:
Passo 6
Agora, para usar o nível de confiança de 95%, entendemos que estamos confiantes de que a probabilidade calculada está dentro dessa margem de confiança. Contudo, como estamos lidando com uma probabilidade específica, o nível de confiança reforça a nossa certeza na estimativa feita.
Resposta
A probabilidade de a nova árvore de 900 anos ser a mais antiga da região é aproximadamente $ (0,6554)^{n-1} $, onde $ n $ é o número total de árvores na região.