Esboce o gráfico das funções abaixo, determinando:  as raízes;  intersecção da curva com o eixo y;  as coordenadas do vértice;  a classificação de yv (valor mínimo ou máximo da função) y = x² - 2x – 8

Passo 1

Então, vamos lá! A gente vai esboçar o gráfico da função $ y = x^2 - 2x - 8 $. Para isso, vamos precisar achar algumas coisas importantes: as raízes (onde o gráfico cruza o eixo $ x $), a interseção com o eixo $ y $, as coordenadas do vértice e saber se o vértice é um ponto mínimo ou máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de $ x $ que fazem $ y = 0 $. Então, precisamos resolver a equação:
x
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
y = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -8 $.

Passo 3

Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
De
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais e diferentes.

Passo 4

Agora, aplicamos na fórmula de Bhaskara:
x = -(-2) pm raiz362 times 1 = 2 pm 62
Então, as raízes são:
x = 2 + 62 = 4
x = 2 - 62 = -2
Então, as raízes são $ x = 4 $ e $ x = -2 $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo $ y $. Para isso, basta substituir $ x = 0 $ na função:
y
Então, a interseção com o eixo $ y $ é o ponto $ (0, -8) $.

Passo 6

Vamos achar as coordenadas do vértice da parábola. As fórmulas para o vértice são:
xv = -b2a
yv = f(xv)
Aqui, $ a = 1 $ e $ b = -2 $.

Passo 7

Calculando $ x_v $:
xv
Agora, substituímos $ x_v = 1 $ na função para achar $ y_v $:
xv = --22 times 1 = 22 = 1
Então, o vértice é $ (1, -9) $.

Passo 8

Por último, vamos classificar o valor $ y_v $. Como o coeficiente de $ x^2 $ é positivo ($ a = 1 > 0 $), a parábola abre para cima. Isso significa que o vértice é o ponto mais baixo da parábola, ou seja, é um valor mínimo.

Resposta

  • Raízes: $ x = 4 $ e $ x = -2 $
  • Interseção com o eixo $ y $: $ (0, -8) $
  • Vértice: $ (1, -9) $
  • Classificação de $ y_v $: Valor mínimo

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