Esboce o gráfico das funções abaixo, determinando: as raízes; intersecção da curva com o eixo y; as coordenadas do vértice; a classificação de yv (valor mínimo ou máximo da função) y = x² - 2x – 8
Passo 1
Então, vamos lá! A gente vai esboçar o gráfico da função $ y = x^2 - 2x - 8 $. Para isso, vamos precisar achar algumas coisas importantes: as raízes (onde o gráfico cruza o eixo $ x $), a interseção com o eixo $ y $, as coordenadas do vértice e saber se o vértice é um ponto mínimo ou máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de $ x $ que fazem $ y = 0 $. Então, precisamos resolver a equação:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -8 $.
Passo 3
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais e diferentes.
Passo 4
Agora, aplicamos na fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Então, as raízes são $ x = 4 $ e $ x = -2 $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo $ y $. Para isso, basta substituir $ x = 0 $ na função:
Então, a interseção com o eixo $ y $ é o ponto $ (0, -8) $.
Passo 6
Vamos achar as coordenadas do vértice da parábola. As fórmulas para o vértice são:
Aqui, $ a = 1 $ e $ b = -2 $.
Passo 7
Calculando $ x_v $:
Agora, substituímos $ x_v = 1 $ na função para achar $ y_v $:
Então, o vértice é $ (1, -9) $.
Passo 8
Por último, vamos classificar o valor $ y_v $. Como o coeficiente de $ x^2 $ é positivo ($ a = 1 > 0 $), a parábola abre para cima. Isso significa que o vértice é o ponto mais baixo da parábola, ou seja, é um valor mínimo.
Resposta
- Raízes: $ x = 4 $ e $ x = -2 $
- Interseção com o eixo $ y $: $ (0, -8) $
- Vértice: $ (1, -9) $
- Classificação de $ y_v $: Valor mínimo