Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de 10 %. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter:
c) Duas peças defeituosas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 10% em uma linha de produção. A gente vai pegar uma amostra de 10 peças e quer saber qual a chance de exatamente 2 delas serem defeituosas. Isso é um caso de probabilidade binomial, que é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas: sucesso ou fracasso.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distribuição binomial. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k sucessos em tentativas é:
Onde:
  • é a combinação de itens tomados de cada vez.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.

Passo 3

No nosso caso, queremos exatamente 2 peças defeituosas em 10. Então, binom102 = 10!2! times (10 - 2)! = 10 times 92 times 1 = 45 , e . Primeiro, vamos calcular a combinação :

Passo 4

Agora, vamos calcular p^k = 0.10^2 = 0.01 e (1 - p)^n - k = 0.90^8 approx 0.43046721 :

Passo 5

Por fim, multiplicamos todos esses valores para encontrar a probabilidade:
P(X = 2) = 45 times 0.01 times 0.43046721 approx 0.1937102

Resposta

A probabilidade de obter exatamente duas peças defeituosas é de aproximadamente 19,37%.

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