Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre?

Passo 1

Então, galera! A gente tem um problema aqui onde queremos estimar a população com 60 anos ou mais em países em desenvolvimento no ano de 2030, usando um modelo exponencial. O modelo dado é $ y = 363e^{0,03x} $, onde $ x = 0 $ corresponde ao ano 2000, $ x = 1 $ ao ano 2001, e assim por diante. A gente vai precisar entender como aplicar esse modelo para encontrar o valor de $ y $ em 2030.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual valor de $ x $ corresponde ao ano de 2030. Sabemos que $ x = 0 $ é 2000, então para 2030:
x

Passo 3

Agora, vamos substituir $ x = 30 $ na equação do modelo para encontrar $ y $:
x = 30
Isso simplifica para:
y

Passo 4

O próximo passo é calcular $ e^{0,9} $. Mas o problema nos dá que $ e^{0,3} = 1,35 $. Podemos usar essa informação para facilitar o cálculo. Sabemos que:
e^0,9
Substituindo:
e^0,3 = 1,35

Passo 5

Vamos calcular $ 1,35^{3} $:
1,35^3
1,35 times 1,35 = 1,8225
Então, $ e^{0,9} \approx 2,460375 $.

Passo 6

Agora, vamos substituir esse valor de volta na equação para $ y $:
y
Calculando isso:
y = 363 times 2,460375
y approx 363 times 2 = 726
Somando os dois resultados:
363 times 0,460375 approx 166,98

Resposta

A população com 60 anos ou mais em 2030 está estimada em aproximadamente 893 milhões de habitantes.

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