Suponha que a precipitação anual, em m m, na região de Porto Alegre no RS seja uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal com média mu e desvio-padrão sigma. Para os últimos 10 anos, o registro fornece as seguintes chuvas:
Ano 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 sumi Xi sumi Xi^2
Precipitação 1787,4 1853,2 1561,4 1756,6 1446,6 1542,8 1425,2 1221,0 1317,0 1873,0 15784,2 25390300
Dados adaptados do INMET
A precipitação acumulada média anual de Curitiba no PR é de 1631 mm .
Teste a hipótese de que a precipitação média anual de Porto Alegre é menor ou igual a de Curitiba contra ela ser maior. (Adote alpha=0,02.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre precipitação anual em Porto Alegre. A ideia é testar se a média dessa chuva por ano é menor ou igual à média de Curitiba, que é 1631 mm. Pra isso, vamos usar estatística, mais especificamente um teste de hipótese para a média de uma população normal. Vamos precisar calcular a média e o desvio-padrão da chuva em Porto Alegre com os dados dos últimos 10 anos e depois comparar com a média de Curitiba usando um teste z ou t. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ( barX) da precipitação em Porto Alegre com os dados fornecidos. A soma das chuvas é 15784,2 mm e temos 10 anos de dados. Então:
barX = sum Xin = 15784,210 = 1578,42 , mm
Agora, vamos calcular o desvio-padrão ( s). A fórmula para o desvio-padrão amostral é:
s = raizsum Xi^2 - (sum Xi)^2nn - 1
Substituindo os valores:
s = raiz25390300 - (15784,2)^21010 - 1 = raiz25390300 - 24948676,649 = raiz441623,369 approx raiz49180,38 approx 221,76 , mm

Passo 3

Agora, vamos formular as hipóteses do nosso teste. Queremos verificar se a média de Porto Alegre é menor ou igual a 1631 mm contra a hipótese de que ela é maior. Então:
  • Hipótese nula ( H0): mu <= 1631 mm
  • Hipótese alternativa ( H1): mu > 1631 mm

Passo 4

Vamos usar o teste z, já que estamos assumindo que a distribuição é normal e o tamanho da amostra é relativamente pequeno (n=10). A fórmula do teste z é:
z = barX - mu0sraizn
Onde:
  • barX = 1578,42 mm
  • mu0 = 1631 mm
  • s = 221,76 mm
  • n = 10
Calculando:
z = 1578,42 - 1631221,76raiz10 = -52,5870,13 approx -0,75
Agora, vamos encontrar o valor crítico para alpha = 0,02 no teste unilateral. Consultando a tabela z, o valor crítico para alpha = 0,02 é aproximadamente 2,05.

Passo 5

No nosso teste, se o valor calculado de z for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula. Mas aqui, nosso z é -0,75, que é menor que 2,05. Além disso, como estamos testando se mu > 1631 e nosso z está negativo, isso indica que a média observada é menor que 1631.

Resposta

Com base no teste realizado, não temos evidências suficientes para afirmar que a precipitação média anual de Porto Alegre é maior que a de Curitiba. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula de que a média de Porto Alegre é menor ou igual a 1631 mm ao nível de significância de 2%.

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