O tempo de espera, em minutos, do momento que se chega até o começo do atendimento, no serviço de um caixa bancário é descrito por uma variável aleatória com distribuição Uniforme no intervalo (0, theta).
Deseja-se estimar esse parâmetro theta. Para isso, foi usado o estimador theta=2 barX, onde barX é a média de uma amostra de tempos de espera.
Calcule o EMQ(theta), erro quadrático médio do estimador theta.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Aqui, estamos lidando com probabilidade e estatística, mais especificamente com estimadores e o Erro Quadrático Médio (EMQ). A gente precisa estimar o parâmetro theta de uma distribuição uniforme, usando o estimador theta = 2 barX, onde barX é a média de uma amostra de tempos de espera. Nosso objetivo é calcular o EMQ desse estimador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição uniforme. Quando dizemos que uma variável aleatória X segue uma distribuição uniforme no intervalo (0, theta), isso significa que todas as ocorrências dentro desse intervalo são igualmente prováveis.
A média ( E[X]) de uma variável uniforme (0, theta) é dada por:
E[X] = theta2
E a variância ( Var(X)) é:
Var(X) = theta^212

Passo 3

Agora, vamos analisar o estimador theta = 2 barX. Primeiro, precisamos encontrar a esperança matemática ( E[theta]) para verificar se o estimador é não tendencioso.
Sabemos que:
E[barX] = theta2
Então:
E[theta] = 2 cdot E[barX] = 2 cdot theta2 = theta
Isso mostra que theta é um estimador não tendencioso de theta.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância do estimador theta. A variância da média amostral barX é:
Var(barX) = Var(X)n = theta^212n
Então, a variância de theta é:
Var(theta) = Var(2 barX) = 4 cdot Var(barX) = 4 cdot theta^212n = theta^23n

Passo 5

O Erro Quadrático Médio (EMQ) de um estimador é dado por:
EMQ(theta) = Var(theta) + (Bias(theta))^2
Como já vimos que theta é um estimador não tendencioso, o bias é zero:
Bias(theta) = E[theta] - theta = 0
Portanto, o EMQ é simplesmente a variância:
EMQ(theta) = theta^23n

Resposta

O erro quadrático médio do estimador theta é theta^23n.

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