O tempo de espera, em minutos, do momento que se chega até o começo do atendimento, no serviço de um caixa bancário é descrito por uma variável aleatória com distribuição Uniforme no intervalo
.
Deseja-se estimar esse parâmetro
. Para isso, foi usado o estimador
, onde
é a média de uma amostra de tempos de espera.
Calcule o
, erro quadrático médio do estimador
.
Deseja-se estimar esse parâmetro
Calcule o
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Aqui, estamos lidando com probabilidade e estatística, mais especificamente com estimadores e o Erro Quadrático Médio (EMQ). A gente precisa estimar o parâmetro
de uma distribuição uniforme, usando o estimador
, onde
é a média de uma amostra de tempos de espera. Nosso objetivo é calcular o EMQ desse estimador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição uniforme. Quando dizemos que uma variável aleatória
segue uma distribuição uniforme no intervalo
, isso significa que todas as ocorrências dentro desse intervalo são igualmente prováveis.
A média (
) de uma variável uniforme
é dada por:
E a variância (
) é:
Passo 3
Agora, vamos analisar o estimador
. Primeiro, precisamos encontrar a esperança matemática (
) para verificar se o estimador é não tendencioso.
Sabemos que:
Então:
Isso mostra que
é um estimador não tendencioso de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância do estimador
. A variância da média amostral
é:
Então, a variância de
é:
Passo 5
O Erro Quadrático Médio (EMQ) de um estimador é dado por:
Como já vimos que
é um estimador não tendencioso, o bias é zero:
Portanto, o EMQ é simplesmente a variância:
Resposta
O erro quadrático médio do estimador
é
.