Suponha que
seja uma variável aleatória contínua com função de densidade
para
e zero caso contrário. Calcule
e
.
Passo 1
Então, temos uma variável aleatória contínua
com densidade de probabilidade
para
entre 0 e 1, e zero caso contrário. A gente precisa calcular a expectativa
e a variância
dessa variável. Vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades contínuas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a expectativa
. A expectativa de uma variável contínua é a integral de
vezes a função de densidade
sobre todo o intervalo onde
é diferente de zero.
Matematicamente, isso é:
Passo 3
Substituímos
por
:
Passo 4
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Passo 5
Calculamos cada integral separadamente:
Passo 6
Substituímos os resultados das integrais de volta na expressão:
Passo 7
Agora, vamos calcular a variância
. A variância é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar
:
Passo 8
Calculamos cada integral separadamente:
Passo 9
Substituímos os resultados das integrais de volta na expressão:
Passo 10
Agora, calculamos a variância usando
e
:
Resposta
A expectativa
é
e a variância
é
.