Suponha que X seja uma variável aleatória contínua com função de densidade f(x)= 2(1-x) para x in[0,1] e zero caso contrário. Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Então, temos uma variável aleatória contínua com densidade de probabilidade para entre 0 e 1, e zero caso contrário. A gente precisa calcular a expectativa e a variância dessa variável. Vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades contínuas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a expectativa E(X) = integral0^1 x cdot f(x) , dx . A expectativa de uma variável contínua é a integral de vezes a função de densidade sobre todo o intervalo onde é diferente de zero.
Matematicamente, isso é:

Passo 3

Substituímos E(X) = integral0^1 x cdot 2(1 - x) , dx = 2 integral0^1 x(1 - x) , dx por :

Passo 4

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
2 integral0^1 (x - x^2) , dx = 2 ( integral0^1 x , dx - integral0^1 x^2 , dx )

Passo 5

Calculamos cada integral separadamente:
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 12
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13

Passo 6

Substituímos os resultados das integrais de volta na expressão:
2 ( 12 - 13 ) = 2 ( 36 - 26 ) = 2 ( 16 ) = 13

Passo 7

Agora, vamos calcular a variância Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 . A variância é dada por:
E(X^2) = integral0^1 x^2 cdot f(x) , dx = integral0^1 x^2 cdot 2(1 - x) , dx = 2 integral0^1 (x^2 - x^3) , dx
Primeiro, precisamos encontrar :

Passo 8

Calculamos cada integral separadamente:
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13
integral0^1 x^3 , dx = [ x^44 ]0^1 = 14

Passo 9

Substituímos os resultados das integrais de volta na expressão:
2 ( 13 - 14 ) = 2 ( 412 - 312 ) = 2 ( 112 ) = 16

Passo 10

Agora, calculamos a variância usando Var(X) = 16 - ( 13 )^2 = 16 - 19 = 318 - 218 = 118 e :

Resposta

A expectativa é e a variância é .

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