Uma variável Y é uniforme no intervalo [3,7]. Encontre E(Y) e Var(Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a variável é uniforme no intervalo . Isso significa que tem a mesma chance de assumir qualquer valor dentro desse intervalo. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado e a variância dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições uniformes e como calcular esses dois parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o valor esperado E(Y) = a + b2 . Em uma distribuição uniforme contínua, o valor esperado é simplesmente a média dos limites do intervalo. Ou seja, se está uniformemente distribuída entre e , então:
No nosso caso, e . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 3

Calculando o valor esperado:
E(Y) = 3 + 72 = 102 = 5
Então, o valor esperado é 5.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância Var(Y) = (b - a)^212 . A variância em uma distribuição uniforme contínua é dada por:
Isso nos dá uma medida de quão espalhados os valores de estão em relação ao valor esperado.

Passo 5

Substituindo os valores de Var(Y) = (7 - 3)^212 = 1612 = 43 approx 1,33 e na fórmula da variância:
Portanto, a variância é aproximadamente 1,33.

Resposta

Assim, o valor esperado de é 5 e a variância de é aproximadamente 1,33.

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