Suponha que X tenha distribuição exponencial, com média igual a 10. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição exponencial e a média dessa distribuição é 10. O que a gente quer descobrir é a probabilidade de $ X $ ser menor que 30, ou seja, $ \mathrm{P}(X < 30) $. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição exponencial e como calcular probabilidades usando a função de distribuição acumulada dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na distribuição exponencial, a média $ \mu $ está relacionada com o parâmetro $ \lambda $ pela fórmula:
Como a média $ \mu $ é 10, podemos encontrar $ \lambda $:
Passo 3
Agora que temos $ \lambda = 0,1 $, vamos usar a função de distribuição acumulada (FDA) da distribuição exponencial para encontrar $ \mathrm{P}(X < 30) $. A FDA é dada por:
Essa fórmula nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor que um valor específico $ x $.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Queremos encontrar $ F(30) $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ e^{-3} $. Sabemos que $ e^{-3} $ é aproximadamente 0,0498. Então:
Resposta
A probabilidade de $ X $ ser menor que 30 é $ \mathrm{P}(X < 30) = 0,9502 $.