Suponha que X seja distribuída normalmente, com uma média =5 e um desvio-padrão =4. Determine o seguinte:
P(X>0)(R: 0,8944)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal. Isso significa que os valores de $ X $ se distribuem de forma simétrica em torno da média. Aqui, a média ($ \mu X éã \sigma $) é 4. Precisamos encontrar a probabilidade de $ X $ ser maior que 0, ou seja, $ \mathrm{P}(X > 0) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular probabilidades em uma distribuição normal, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou funções específicas. Mas antes de usar a tabela, precisamos transformar nosso valor de $ X $ em um valor padronizado, chamado de $ Z $.

Passo 3

A fórmula para padronizar é:
Z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos encontrar a probabilidade (no caso, 0)
  • $ \mu $ é a média (5)
  • $ \sigma $ é o desvio-padrão (4)

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
Z = 0 - 54 = -54 = -1,25
Então, o valor padronizado $ Z $ é -1,25.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z > -1,25 $. Sabemos que a distribuição normal é simétrica, e a tabela geralmente nos dá a probabilidade de $ Z $ ser menor que um certo valor. Mas queremos o contrário.

Passo 6

A probabilidade de $ Z > -1,25 $ é igual a 1 menos a probabilidade de $ Z $ ser menor que -1,25:
Z > -1,25

Passo 7

Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z < -1,25) approx 0,1056
Portanto:
P(Z > -1,25) = 1 - 0,1056 = 0,8944

Resposta

A probabilidade de $ X > 0 $ é aproximadamente 0,8944.

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