Suponha que X seja distribuída normalmente, com uma média
e um desvio-padrão
. Determine o seguinte:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal. Isso significa que os valores de $ X $ se distribuem de forma simétrica em torno da média. Aqui, a média ($ \mu
\sigma $) é 4. Precisamos encontrar a probabilidade de $ X $ ser maior que 0, ou seja, $ \mathrm{P}(X > 0) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular probabilidades em uma distribuição normal, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou funções específicas. Mas antes de usar a tabela, precisamos transformar nosso valor de $ X $ em um valor padronizado, chamado de $ Z $.
Passo 3
A fórmula para padronizar é:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos encontrar a probabilidade (no caso, 0)
- $ \mu $ é a média (5)
- $ \sigma $ é o desvio-padrão (4)
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula:
Então, o valor padronizado $ Z $ é -1,25.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z > -1,25 $. Sabemos que a distribuição normal é simétrica, e a tabela geralmente nos dá a probabilidade de $ Z $ ser menor que um certo valor. Mas queremos o contrário.
Passo 6
A probabilidade de $ Z > -1,25 $ é igual a 1 menos a probabilidade de $ Z $ ser menor que -1,25:
Passo 7
Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que:
Portanto:
Resposta
A probabilidade de $ X > 0 $ é aproximadamente 0,8944.