A função densidade de probabilidade da massa de pacotes entregues pelos correios é dada pela função a seguir:
Se o custo de entrega for R
por quilograma, qual será o custo médio para entregar um pacote?
Se o custo de entrega for R
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade que descreve a massa dos pacotes entregues pelos correios. O problema quer saber qual é o custo médio para entregar um pacote, sabendo que o custo é de R$ 2,00 por quilograma. Vamos usar conceitos de probabilidade e valor esperado para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a função de densidade de probabilidade $ f(x) = 0,5085 , x^{-2} $ para $ 0,5 \leq x \leq 30,0 $ kg. Essa função nos diz a probabilidade de um pacote ter uma determinada massa dentro desse intervalo.
Passo 3
Para encontrar o custo médio, precisamos calcular o valor esperado da massa dos pacotes, que é basicamente a média ponderada das massas possíveis, considerando suas probabilidades. A fórmula do valor esperado $ E[x] $ é:
Onde $ a = 0,5 $ kg e $ b = 30,0 $ kg no nosso caso.
Passo 4
Vamos substituir a função $ f(x) $ na fórmula do valor esperado:
Simplificando a expressão $ x \cdot x^{-2} $:
Passo 5
Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de $ x^{-1} $ é $ \ln|x| $. Então:
Passo 6
Calculando os valores numéricos:
Substituindo na equação:
Passo 7
Agora que temos o valor esperado da massa, podemos calcular o custo médio multiplicando pela taxa de R$ 2,00 por quilograma:
Resposta
O custo médio para entregar um pacote é de aproximadamente R$ 4,16.