A função densidade de probabilidade da massa de pacotes entregues pelos correios é dada pela função a seguir:
f(x)=0,5085 x^-2(0,5 <= x <= 30,0) kg
Se o custo de entrega for R por quilograma, qual será o custo médio para entregar um pacote?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade que descreve a massa dos pacotes entregues pelos correios. O problema quer saber qual é o custo médio para entregar um pacote, sabendo que o custo é de R$ 2,00 por quilograma. Vamos usar conceitos de probabilidade e valor esperado para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a função de densidade de probabilidade $ f(x) = 0,5085 , x^{-2} $ para $ 0,5 \leq x \leq 30,0 $ kg. Essa função nos diz a probabilidade de um pacote ter uma determinada massa dentro desse intervalo.

Passo 3

Para encontrar o custo médio, precisamos calcular o valor esperado da massa dos pacotes, que é basicamente a média ponderada das massas possíveis, considerando suas probabilidades. A fórmula do valor esperado $ E[x] $ é:
E[x]
Onde $ a = 0,5 $ kg e $ b = 30,0 $ kg no nosso caso.

Passo 4

Vamos substituir a função $ f(x) $ na fórmula do valor esperado:
f(x)
Simplificando a expressão $ x \cdot x^{-2} $:
E[x] = integral0,5^30 x cdot 0,5085 , x^-2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de $ x^{-1} $ é $ \ln|x| $. Então:
x^-1

Passo 6

Calculando os valores numéricos:
ln(30) approx 3,4012 ln(0,5) approx -0,6931
Substituindo na equação:
E[x] = 0,5085 cdot (3,4012 - (-0,6931)) = 0,5085 cdot 4,0943 approx 2,079 , kg

Passo 7

Agora que temos o valor esperado da massa, podemos calcular o custo médio multiplicando pela taxa de R$ 2,00 por quilograma:
2,00 por quilograma: é

Resposta

O custo médio para entregar um pacote é de aproximadamente R$ 4,16.

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