Suponha que a variável aleatória bidimensional (X,Y) tenha fdp conjunta
Calcule a marginal de X .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a distribuição marginal de $ X $ a partir da função de densidade conjunta $ f(x, y) $. Vamos precisar entender o que é distribuição marginal e como calcular isso integrando a função conjunta em relação à outra variável, que no caso é $ Y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição marginal. Quando temos uma função de densidade conjunta $ f(x, y) $, a distribuição marginal de $ X $, denotada por $ f_X(x) $, é obtida integrando $ f(x, y) $ em relação a $ y $ sobre todo o intervalo possível de $ Y $. Isso basicamente nos dá a “probabilidade” de $ X $ independentemente de $ Y $.
Matematicamente, isso é:
Passo 3
No nosso caso, a função de densidade conjunta é dada por:
Isso significa que os valores de $ x $ estão entre 0 e 1, e os de $ y $ entre 0 e 2.
Passo 4
Agora, vamos calcular a distribuição marginal de $ X $:
Vamos integrar termo a termo.
Primeiro, integramos $ x^{2} $ em relação a $ y $:
Depois, integramos $ \dfrac{xy}{3} $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, somando os resultados das integrais:
Então, a distribuição marginal de $ X $ é:
Resposta
A distribuição marginal de $ X $ é: