Suponha que a variável aleatória bidimensional (X,Y) tenha fdp conjunta
f(x, y)=rll x^2+x y3 & se & 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & se & cc
Calcule a marginal de X .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a distribuição marginal de $ X $ a partir da função de densidade conjunta $ f(x, y) $. Vamos precisar entender o que é distribuição marginal e como calcular isso integrando a função conjunta em relação à outra variável, que no caso é $ Y $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição marginal. Quando temos uma função de densidade conjunta $ f(x, y) $, a distribuição marginal de $ X $, denotada por $ f_X(x) $, é obtida integrando $ f(x, y) $ em relação a $ y $ sobre todo o intervalo possível de $ Y $. Isso basicamente nos dá a “probabilidade” de $ X $ independentemente de $ Y $.
Matematicamente, isso é:
f(x, y)

Passo 3

No nosso caso, a função de densidade conjunta é dada por:
f(x, y) = ll x^2 + dfracxy3 & se 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2 0 & caso contrário á
Isso significa que os valores de $ x $ estão entre 0 e 1, e os de $ y $ entre 0 e 2.

Passo 4

Agora, vamos calcular a distribuição marginal de $ X $:
X
Vamos integrar termo a termo.
Primeiro, integramos $ x^{2} $ em relação a $ y $:
fX(x) = integral0^2 ( x^2 + dfracxy3 ) dy
Depois, integramos $ \dfrac{xy}{3} $ em relação a $ y $:
x^2

Passo 5

Agora, somando os resultados das integrais:
fX(x) = 2x^2 + dfrac2x3 = 2x^2 + dfrac23x
Então, a distribuição marginal de $ X $ é:
X

Resposta

A distribuição marginal de $ X $ é:
X

Exercícios relacionados