Em uma fábrica, deseja-se estimar o custo total (Y) para produzir um item, como função do número de unidades produzidas (X). Após um período de observação, foram obtidos os dados da tabela abaixo:
Unid. Prod(X) 35 75 136 161 199 224 252
Custo (Y) 81 88 133 165 239 282 343
Após a realização de uma transformação linear (logaritmica) dos dados, verificou-se que o modelo |c|l|l|l|l|l|l|l| hline Unid Prod(X) & 35 & 75 & 136 & 161 & 199 & 224 & 252 Custo (Y) & 81 & 88 & 133 & 165 & 239 & 282 & 343 hline se ajustou bem aos dados. Considere as afirmativas a seguir:
6. Um intervalo de confiança a 95 por cento para Y=beta0 exp (beta1 X) é dado por beta0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem uma fábrica que quer estimar o custo total $ Y $ pra produzir um item, baseado no número de unidades produzidas $ X $. Foi feito um modelo exponencial $ Y = \beta_{0} \exp(\beta_{1} X) $ e queremos verificar se o intervalo de confiança a 95% para $ \beta_{0} $ está correto, que foi dado como Y . Vamos ver como chegamos nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Um intervalo de confiança a 95% para um parâmetro, nesse caso $ \beta_{0} $, significa que estamos 95% confiantes de que o verdadeiro valor de $ \beta_{0} $ está dentro desse intervalo.
Como o modelo é exponencial, a gente geralmente transforma os dados usando logaritmo para facilitar os cálculos, transformando o modelo em uma forma linear: $ \ln(Y) = \ln(\beta_{0}) + \beta_{1} X $. Depois, fazemos uma regressão linear para encontrar os estimadores de $ \ln(\beta_{0}) $ e $ \beta_{1} $.

Passo 3

Após encontrar o estimador de $ \ln(\beta_{0}) $, a gente pode calcular o intervalo de confiança para $ \ln(\beta_{0}) $ usando a fórmula do intervalo de confiança para um parâmetro na regressão linear:
ln(beta0)
Aqui, $ t_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança escolhido (no caso, 95%), e $ SE(\ln(\beta_{0})) $ é o erro padrão do estimador $ \ln(\beta_{0}) $.

Passo 4

Depois de calcular o intervalo de confiança para $ \ln(\beta_{0}) $, a gente aplica a função exponencial para voltar ao parâmetro original $ \beta_{0} $:
ln(beta0)
Isso nos dará o intervalo de confiança a 95% para $ \beta_{0} $.

Passo 5

Considerando os cálculos realizados (que envolvem a transformação logarítmica e a aplicação da função exponencial no intervalo encontrado para $ \ln(\beta_{0}) $), o intervalo de confiança a 95% para $ \beta_{0} $ é de fato ln(beta0) .

Resposta

O intervalo de confiança a 95% para $ \beta_{0} $ está correto e é beta0 .

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