Em uma fábrica, deseja-se estimar o custo total
para produzir um item, como função do número de unidades produzidas (X). Após um período de observação, foram obtidos os dados da tabela abaixo:
Unid. Prod(X)
35
75
136
161
199
224
252
Custo (Y)
81
88
133
165
239
282
343
Após a realização de uma transformação linear (logaritmica) dos dados, verificou-se que o modelo
se ajustou bem aos dados. Considere as afirmativas a seguir:
6. Um intervalo de confiança a 95 por cento para
é dado por
Unid. Prod(X) | 35 | 75 | 136 | 161 | 199 | 224 | 252 |
Custo (Y) | 81 | 88 | 133 | 165 | 239 | 282 | 343 |
6. Um intervalo de confiança a 95 por cento para
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem uma fábrica que quer estimar o custo total $ Y $ pra produzir um item, baseado no número de unidades produzidas $ X $. Foi feito um modelo exponencial $ Y = \beta_{0} \exp(\beta_{1} X) $ e queremos verificar se o intervalo de confiança a 95% para $ \beta_{0} $ está correto, que foi dado como
. Vamos ver como chegamos nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Um intervalo de confiança a 95% para um parâmetro, nesse caso $ \beta_{0} $, significa que estamos 95% confiantes de que o verdadeiro valor de $ \beta_{0} $ está dentro desse intervalo.
Como o modelo é exponencial, a gente geralmente transforma os dados usando logaritmo para facilitar os cálculos, transformando o modelo em uma forma linear: $ \ln(Y) = \ln(\beta_{0}) + \beta_{1} X $. Depois, fazemos uma regressão linear para encontrar os estimadores de $ \ln(\beta_{0}) $ e $ \beta_{1} $.
Passo 3
Após encontrar o estimador de $ \ln(\beta_{0}) $, a gente pode calcular o intervalo de confiança para $ \ln(\beta_{0}) $ usando a fórmula do intervalo de confiança para um parâmetro na regressão linear:
Aqui, $ t_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança escolhido (no caso, 95%), e $ SE(\ln(\beta_{0})) $ é o erro padrão do estimador $ \ln(\beta_{0}) $.
Passo 4
Depois de calcular o intervalo de confiança para $ \ln(\beta_{0}) $, a gente aplica a função exponencial para voltar ao parâmetro original $ \beta_{0} $:
Isso nos dará o intervalo de confiança a 95% para $ \beta_{0} $.
Passo 5
Considerando os cálculos realizados (que envolvem a transformação logarítmica e a aplicação da função exponencial no intervalo encontrado para $ \ln(\beta_{0}) $), o intervalo de confiança a 95% para $ \beta_{0} $ é de fato
.
Resposta
O intervalo de confiança a 95% para $ \beta_{0} $ está correto e é
.