Suponha que a variável aleatória bidimensional (X,Y) tenha fdp conjunta
f(x, y)=rll x^2+x y3 & se & 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & se & cc
Calcule a marginal de Y.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Probabilidade e Estatística que envolve uma variável aleatória bidimensional, ou seja, com duas variáveis: $ X $ e $ Y $. A gente precisa encontrar a função marginal de $ Y $, que basicamente mostra como $ Y $ se comporta sozinho, sem considerar $ X $. Para isso, vamos usar a função de densidade conjunta que nos foi dada:
X á
Vamos precisar integrar essa função conjunta em relação a $ X $ para encontrar a marginal de $ Y $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função marginal de $ Y $, denotada por $ f_Y(y) $, é obtida integrando a função conjunta $ f(x, y) $ sobre todos os valores possíveis de $ X $. Matematicamente, isso é:
Y
Mas como sabemos que $ f(x, y) $ é diferente de zero apenas entre $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 2 $, podemos simplificar os limites da integral.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral específica para o nosso caso:
fY(y) = integral0^1 ( x^2 + dfracx y3 ) , dx
Aqui, estamos integrando de $ x = 0 $ a $ x = 1 $ porque fora desse intervalo a função é zero.

Passo 4

Vamos resolver a integral termo a termo. Primeiro, integrando $ x^{2} $:
x^2

Passo 5

Em seguida, integrando $ \dfrac{x y}{3} $:
dfracx y3

Passo 6

Agora, somamos os dois resultados das integrais:
fY(y) = dfrac13 + dfracy6
Isso é válido para $ 0 \leq y \leq 2 $. Fora desse intervalo, a função marginal é zero.

Resposta

A função marginal de $ Y $ é:
Y á

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