Suponha que a variável aleatória bidimensional (X,Y) tenha fdp conjunta
Calcule a marginal de Y.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Probabilidade e Estatística que envolve uma variável aleatória bidimensional, ou seja, com duas variáveis: $ X $ e $ Y $. A gente precisa encontrar a função marginal de $ Y $, que basicamente mostra como $ Y $ se comporta sozinho, sem considerar $ X $. Para isso, vamos usar a função de densidade conjunta que nos foi dada:
Vamos precisar integrar essa função conjunta em relação a $ X $ para encontrar a marginal de $ Y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função marginal de $ Y $, denotada por $ f_Y(y) $, é obtida integrando a função conjunta $ f(x, y) $ sobre todos os valores possíveis de $ X $. Matematicamente, isso é:
Mas como sabemos que $ f(x, y) $ é diferente de zero apenas entre $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 2 $, podemos simplificar os limites da integral.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral específica para o nosso caso:
Aqui, estamos integrando de $ x = 0 $ a $ x = 1 $ porque fora desse intervalo a função é zero.
Passo 4
Vamos resolver a integral termo a termo. Primeiro, integrando $ x^{2} $:
Passo 5
Em seguida, integrando $ \dfrac{x y}{3} $:
Passo 6
Agora, somamos os dois resultados das integrais:
Isso é válido para $ 0 \leq y \leq 2 $. Fora desse intervalo, a função marginal é zero.
Resposta
A função marginal de $ Y $ é: