A tabela abaixo informa o número de defeitos, por peça, encontrados durante uma inspeção feita em um lote de 80 peças que chegou a um porto.
Número de <br> defeitos por peça Número <br> de peças
0 12
1 20
2 24
3 16
4 8
c) Adicionando-se ao lote inicial n peças, cada uma com 3 defeitos, o valor da mediana passa a ser 3. Qual é o menor valor possível de n ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma tabela que mostra quantas peças, de um total inicial de 80, têm de 0 a 4 defeitos. O conteúdo envolvido aqui é estatística, especificamente a mediana de um conjunto de dados. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como a mediana funciona e como ela é afetada quando adicionamos mais peças com um número específico de defeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a mediana. A mediana é o valor que está no meio de um conjunto de dados quando eles são ordenados do menor para o maior. Se tivermos um número par de dados, a mediana será a média dos dois valores do meio.

Passo 3

No nosso caso, temos 80 peças inicialmente. Vamos ordenar os defeitos por peça:
  • 0 defeitos: 12 peças
  • 1 defeito: 20 peças
  • 2 defeitos: 24 peças
  • 3 defeitos: 16 peças
  • 4 defeitos: 8 peças

Passo 4

Vamos encontrar a posição da mediana na distribuição inicial. Com 80 peças, a mediana estará entre a 40ª e a 41ª peça. Vamos acumular as peças para ver onde esses números se encontram:
  • Até 0 defeitos: 12 peças
  • Até 1 defeito: 12 + 20 = 32 peças
  • Até 2 defeitos: 32 + 24 = 56 peças

Passo 5

Observamos que a 40ª e a 41ª peça estão na categoria de 2 defeitos, já que até 2 defeitos temos 56 peças. Portanto, a mediana inicial é 2.

Passo 6

Agora, queremos adicionar peças, cada uma com 3 defeitos, de modo que a nova mediana seja 3. Após adicionar essas peças, o total de peças será .

Passo 7

Para que a mediana seja 3, a metade dos dados deve estar abaixo de 3 e a outra metade acima. Isso significa que o ponto central deve cair na categoria de 3 defeitos.

Passo 8

Vamos determinar quantas peças precisam estar com menos de 3 defeitos no novo conjunto. Precisamos que pelo menos peças tenham menos de 3 defeitos.

Passo 9

No conjunto inicial, temos:
  • Até 2 defeitos: 56 peças
Para a mediana ser 3, precisamos que menos de 56 < 80 + n2 peças tenham menos de 3 defeitos. Portanto:

Passo 10

Resolvendo a inequação para 56 < 80 + n2 :
112 < 80 + n
Multiplicando ambos os lados por 2:
32 < n
Subtraindo 80 de ambos os lados:

Passo 11

Como n = 33 deve ser o menor número inteiro que satisfaz essa condição, temos:

Resposta

O menor valor possível de é 33.

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