A tabela abaixo informa o número de defeitos, por peça, encontrados durante uma inspeção feita em um lote de 80 peças que chegou a um porto.
Número de <br> defeitos por peça | Número <br> de peças |
---|---|
0 | 12 |
1 | 20 |
2 | 24 |
3 | 16 |
4 | 8 |
c) Adicionando-se ao lote inicial n peças, cada uma com 3 defeitos, o valor da mediana passa a ser 3. Qual é o menor valor possível de
?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma tabela que mostra quantas peças, de um total inicial de 80, têm de 0 a 4 defeitos. O conteúdo envolvido aqui é estatística, especificamente a mediana de um conjunto de dados. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como a mediana funciona e como ela é afetada quando adicionamos mais peças com um número específico de defeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a mediana. A mediana é o valor que está no meio de um conjunto de dados quando eles são ordenados do menor para o maior. Se tivermos um número par de dados, a mediana será a média dos dois valores do meio.
Passo 3
No nosso caso, temos 80 peças inicialmente. Vamos ordenar os defeitos por peça:
- 0 defeitos: 12 peças
- 1 defeito: 20 peças
- 2 defeitos: 24 peças
- 3 defeitos: 16 peças
- 4 defeitos: 8 peças
Passo 4
Vamos encontrar a posição da mediana na distribuição inicial. Com 80 peças, a mediana estará entre a 40ª e a 41ª peça. Vamos acumular as peças para ver onde esses números se encontram:
- Até 0 defeitos: 12 peças
- Até 1 defeito: 12 + 20 = 32 peças
- Até 2 defeitos: 32 + 24 = 56 peças
Passo 5
Observamos que a 40ª e a 41ª peça estão na categoria de 2 defeitos, já que até 2 defeitos temos 56 peças. Portanto, a mediana inicial é 2.
Passo 6
Agora, queremos adicionar
peças, cada uma com 3 defeitos, de modo que a nova mediana seja 3. Após adicionar essas peças, o total de peças será
.
Passo 7
Para que a mediana seja 3, a metade dos dados deve estar abaixo de 3 e a outra metade acima. Isso significa que o ponto central deve cair na categoria de 3 defeitos.
Passo 8
Vamos determinar quantas peças precisam estar com menos de 3 defeitos no novo conjunto. Precisamos que pelo menos
peças tenham menos de 3 defeitos.
Passo 9
No conjunto inicial, temos:
- Até 2 defeitos: 56 peças
Para a mediana ser 3, precisamos que menos de
peças tenham menos de 3 defeitos. Portanto:
Passo 10
Resolvendo a inequação para
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo 80 de ambos os lados:
Passo 11
Como
deve ser o menor número inteiro que satisfaz essa condição, temos:
Resposta
O menor valor possível de
é 33.