Um tanque é abastecido por uma torneira e o volume de água, em milhares de litros, em seu interior é dado por V1(t)=3t+13, com t contado em horas a partir do instante t=0 em que a torneira é aberta. No instante t1 em que o volume de água atinge a capacidade máxima do tanque, a torneira é automaticamente fechada e, imediatamente, um registro é aberto permitindo que a água acumulada nesse tanque abasteça caixas d’água menores. A partir do momento em que esse registro é aberto, o volume d’água no tanque passa a ser descrito pela função V2(t)=−2t+58, para t≥t1, até que o tanque esteja completamente vazio. Quais os valores da capacidade máxima do tanque e o tempo em que ele estará vazio depois de fechada a torneira e aberto o registro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque que está sendo abastecido por uma torneira. O volume de água no tanque em função do tempo é dado por $ V_1(t) = 3t + 13 $, onde $ t $ é o tempo em horas desde que a torneira foi aberta. Quando o tanque atinge a capacidade máxima, a torneira é fechada e um registro é aberto para esvaziar o tanque. A partir desse momento, o volume de água passa a ser descrito por $ V_2(t) = -2t + 58 $. Nosso objetivo é encontrar dois valores:
- A capacidade máxima do tanque.
- O tempo que o tanque leva para esvaziar após o registro ser aberto.
Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada conceito à medida que avançamos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o instante $ t_1 $ em que o tanque atinge sua capacidade máxima. Nesse momento, o volume de água fornecido pela função $ V_1(t) $ será igual ao volume fornecido pela função $ V_2(t) $.
Matematicamente, isso significa que:
Substituindo as expressões das funções:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ t_1 $.
Passo 3
Vamos somar $ 2t_1 $ em ambos os lados da equação para trazer todos os termos com $ t_1 $ para um lado:
Agora, subtraímos 13 de ambos os lados para isolar o termo com $ t_1 $:
Por fim, dividimos ambos os lados por 5 para encontrar $ t_1 $:
Então, o tanque atinge sua capacidade máxima às 9 horas após a abertura da torneira.
Passo 4
Agora que sabemos que $ t_1 = 9 $ horas, podemos encontrar a capacidade máxima do tanque substituindo $ t_1 $ na função $ V_1(t) $:
Portanto, a capacidade máxima do tanque é de 40 mil litros.
Passo 5
Com a torneira fechada e o registro aberto no instante $ t_1 = 9 $ horas, o volume de água no tanque começa a diminuir conforme a função $ V_2(t) = -2t + 58 $.
Queremos saber quanto tempo levará para o tanque esvaziar completamente, ou seja, quando $ V_2(t) = 0 $.
Vamos resolver a equação:
Passo 6
Resolvendo para $ t $:
Então, leva 29 horas para o tanque esvaziar completamente após o registro ser aberto.
Resposta
A capacidade máxima do tanque é de 40 mil litros e o tanque estará completamente vazio 29 horas após o fechamento da torneira e abertura do registro.