Um tanque inicialmente contém 1000 kg de salmoura contendo
em massa de sal. O fluxo de entrada contém
de sal e apresenta uma vazão de
. A mistura no tanque é mantida uniforme por agitação. A salmoura é removida do tanque por uma saída lateral à vazão de 10
. Determine: (a) a quantidade de salmoura no tanque em qualquer tempo
); (b) o tempo no qual a quantidade de sal no tanque atinge 200 kg . (
)
Passo 1
Então, vamos por partes! A gente tem um tanque com uma certa quantidade de salmoura e quer descobrir como a quantidade de sal muda ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é de balanceamento de massa e equações diferenciais, especificamente aplicadas a misturas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a entrada e a saída de sal no tanque e montar uma equação que descreva essa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- $ M(t) $ é a massa total da salmoura no tanque no tempo $ t $.
- $ S(t) $ é a quantidade de sal no tanque no tempo $ t $.
A massa total da salmoura está aumentando porque a entrada tem uma vazão maior que a saída. A equação fornecida para $ M(t) $ é:
Isso significa que a cada minuto, a massa da salmoura aumenta em 10 kg.
Passo 3
Agora, vamos fazer o balance de massa do sal. A taxa de variação da quantidade de sal no tanque é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal:
Vamos calcular cada parte:
-
Entrada de Sal: A salmoura que entra tem 20% de sal e a vazão é 20 kg/min, então:
-
Saída de Sal: A salmoura que sai tem concentração igual à do tanque, que é $ \frac{S(t)}{M(t)} $, e a vazão é 10 kg/min, então:
Passo 4
Substituindo na equação do balance de massa:
Essa é uma equação diferencial que descreve como a quantidade de sal muda ao longo do tempo.
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, simplificamos:
Para resolver, vamos rearranjar a equação:
Essa é uma equação linear que pode ser resolvida usando o fator integrante.
Passo 6
Calculamos o fator integrante $ \mu(t) $:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integramos ambos os lados:
Dividindo por $ t + 100 $:
Agora, aplicamos a condição inicial. No tempo $ t = 0 $, temos 1000 kg de salmoura com 10% de sal, então:
Substituindo:
Então, a solução fica:
Resposta
(a) A quantidade de sal no tanque em qualquer tempo $ t $ é:
(b) O tempo no qual a quantidade de sal no tanque atinge 200 kg é aproximadamente:
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)
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