Um tanque inicialmente contém 1000 kg de salmoura contendo 10 % em massa de sal. O fluxo de entrada contém 20 % de sal e apresenta uma vazão de 20 kg / min. A mistura no tanque é mantida uniforme por agitação. A salmoura é removida do tanque por uma saída lateral à vazão de 10 kg / min. Determine: (a) a quantidade de salmoura no tanque em qualquer tempo t(M=10 t+1000 ); (b) o tempo no qual a quantidade de sal no tanque atinge 200 kg . ( t=36,6 min )

Passo 1

Então, vamos por partes! A gente tem um tanque com uma certa quantidade de salmoura e quer descobrir como a quantidade de sal muda ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é de balanceamento de massa e equações diferenciais, especificamente aplicadas a misturas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a entrada e a saída de sal no tanque e montar uma equação que descreva essa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • $ M(t) $ é a massa total da salmoura no tanque no tempo $ t $.
  • $ S(t) $ é a quantidade de sal no tanque no tempo $ t $.
A massa total da salmoura está aumentando porque a entrada tem uma vazão maior que a saída. A equação fornecida para $ M(t) $ é:
M(t)
Isso significa que a cada minuto, a massa da salmoura aumenta em 10 kg.

Passo 3

Agora, vamos fazer o balance de massa do sal. A taxa de variação da quantidade de sal no tanque é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal:
dSdt = Entrada - Saída í
Vamos calcular cada parte:
  • Entrada de Sal: A salmoura que entra tem 20% de sal e a vazão é 20 kg/min, então:
    Entrada = 20 , kg/min times 0,20 = 4 , kg/min
  • Saída de Sal: A salmoura que sai tem concentração igual à do tanque, que é $ \frac{S(t)}{M(t)} $, e a vazão é 10 kg/min, então:
    S(t)M(t) í

Passo 4

Substituindo na equação do balance de massa:
dSdt = 4 - 10S(t)10t + 1000
Essa é uma equação diferencial que descreve como a quantidade de sal muda ao longo do tempo.

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, simplificamos:
dSdt = 4 - S(t)t + 100
Para resolver, vamos rearranjar a equação:
dSdt + S(t)t + 100 = 4
Essa é uma equação linear que pode ser resolvida usando o fator integrante.

Passo 6

Calculamos o fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
mu(t) = e^integral 1t + 100 dt = e^ln(t + 100) = t + 100
Isso simplifica para:
(t + 100)dSdt + S(t) = 4(t + 100)

Passo 7

Integramos ambos os lados:
(t + 100)S(t) = integral 4(t + 100) dt
(t + 100)S(t) = 2(t + 100)^2 + C
Dividindo por $ t + 100 $:
t + 100
Agora, aplicamos a condição inicial. No tempo $ t = 0 $, temos 1000 kg de salmoura com 10% de sal, então:
S(t) = 2(t + 100) + Ct + 100
Substituindo:
t = 0
S(0) = 100 , kg
100 = 2(0 + 100) + C0 + 100
100 = 200 + C100
Então, a solução fica:
C100 = -100

Resposta

(a) A quantidade de sal no tanque em qualquer tempo $ t $ é:
t
(b) O tempo no qual a quantidade de sal no tanque atinge 200 kg é aproximadamente:
S(t) = 2(t + 100) - 10000t + 100 , kg

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