A taxa de imunização de uma vacina é 80 %. Se um grupo de 20 pessoas foram vacinadas, desejamos saber o comportamento probabilístico do número de pessoas imunizadas desse grupo. Seja X a variável de interesse. Para cada pessoa do grupo, a probabilidade de estar imunizada é 0.8 e admitimos, ainda independência entre os resultados das várias pessoas vacinadas.
© Qual é a variância da variável aleatória X

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um grupo de 20 pessoas que foram vacinadas, e a taxa de imunização da vacina é de 80%. Queremos descobrir como varia o número de pessoas imunizadas nesse grupo. O conteúdo que vamos usar aqui é a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde há um número fixo de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso. Precisamos saber que a variância de uma variável binomial pode ser calculada com uma fórmula específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial nesse problema:
  • n: número de tentativas (no caso, pessoas vacinadas) = 20
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (estar imunizado) = 0.8

Passo 3

Agora, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a variância de uma variável aleatória que segue a distribuição binomial. A fórmula é:
Var(X) = n cdot p cdot (1 - p)

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Var(X) = 20 cdot 0.8 cdot (1 - 0.8)

Passo 5

Calculando passo a passo:
  1. Primeiro, calculamos 1 - 0.8 = 0.2 :
    20 cdot 0.8 cdot 0.2 = 3.2
  2. Depois, multiplicamos todos os valores:

Resposta

A variância da variável aleatória é 3,2.

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