A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros
? Considere o raio do cilindro igual a
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico vertical com raio de 0,5 metros, e estamos bombeando o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto. Queremos saber a que taxa o nível do líquido está diminuindo nesse tanque. Vamos precisar usar conceitos de taxa de variação e volume de cilindro para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
onde:
-
é o volume, -
é o raio da base do cilindro, -
é a altura do líquido no tanque.
Passo 3
Estamos interessados em saber como a altura
muda em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Aqui,
é a taxa de variação do volume do líquido no tanque.
Passo 4
Sabemos que líquidos estão sendo bombeados para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto. Precisamos converter isso para metros cúbicos por minuto, já que as unidades do raio estão em metros. Sabemos que:
Então:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação derivada:
Calculando
:
Passo 6
Isolando
:
Resposta
O nível do líquido está diminuindo a uma taxa de aproximadamente 3,82 metros por minuto.
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