A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros min ? Considere o raio do cilindro igual a r = 0.5 m.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico vertical com raio de 0,5 metros, e estamos bombeando o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto. Queremos saber a que taxa o nível do líquido está diminuindo nesse tanque. Vamos precisar usar conceitos de taxa de variação e volume de cilindro para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base do cilindro,
  • é a altura do líquido no tanque.

Passo 3

Estamos interessados em saber como a altura muda em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Aqui, é a taxa de variação do volume do líquido no tanque.

Passo 4

Sabemos que líquidos estão sendo bombeados para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto. Precisamos converter isso para metros cúbicos por minuto, já que as unidades do raio estão em metros. Sabemos que:
ú
Então:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação derivada:
Calculando :

Passo 6

Isolando :

Resposta

O nível do líquido está diminuindo a uma taxa de aproximadamente 3,82 metros por minuto.

Exercícios relacionados

Determine: Quantos litros de água têm no reservatório antes dele começar ser esvaziado?
Determine: Quantos litros de água saíram do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento?
Determine: A taxa de variação do volume de água no reservatório exatamente 12 horas depois que começou o escoamento.
Uma viatura de polícia, vindo do Norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade que, no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a 6 km do norte do cruzamento e o carro fugitivo a 8 km a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20 km/h. Se a viatura está se deslocando a 60 km/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?