Uma viatura de polícia, vindo do Norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade que, no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a 6 km do norte do cruzamento e o carro fugitivo a 8 km a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a
. Se a viatura está se deslocando a
no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma viatura de polícia que está vindo do Norte em direção a um cruzamento em ângulo reto e está perseguindo um carro que, no cruzamento, segue para o leste. No momento da medida, a viatura está a 6 km ao norte do cruzamento e o carro fugitivo está a 8 km a leste. Sabemos que a distância entre eles está aumentando a uma taxa de 20 km/h e que a viatura está se movendo a 60 km/h. Precisamos descobrir qual é a velocidade do carro fugitivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e o teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a situação com variáveis. Vamos chamar de
a distância da viatura de polícia ao cruzamento e de
a distância do carro fugitivo ao cruzamento. No instante em que estamos analisando:
-
km (a viatura está 6 km ao norte) -
km (o fugitivo está 8 km a leste) - A velocidade da viatura
km/h (negativo porque está se movendo em direção ao sul) - A velocidade do fugitivo
km/h (que queremos encontrar) - A taxa de variação da distância entre eles
km/h
Passo 3
A distância
entre a viatura e o fugitivo pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que eles estão se movendo perpendicularmente um em relação ao outro:
Queremos encontrar a taxa de variação dessa distância em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a equação de
em relação ao tempo.
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação ao tempo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Calculando o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por 10:
Somando 360 aos dois lados:
Dividindo por 8:
Resposta
A velocidade do carro fugitivo é de 70 km/h.
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.
Resolva as inequações dos exercícios abaixo:
Nos exercícios abaixo, resolva para
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