Uma viatura de polícia, vindo do Norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade que, no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a 6 km do norte do cruzamento e o carro fugitivo a 8 km a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20 km/h. Se a viatura está se deslocando a 60 km/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma viatura de polícia que está vindo do Norte em direção a um cruzamento em ângulo reto e está perseguindo um carro que, no cruzamento, segue para o leste. No momento da medida, a viatura está a 6 km ao norte do cruzamento e o carro fugitivo está a 8 km a leste. Sabemos que a distância entre eles está aumentando a uma taxa de 20 km/h e que a viatura está se movendo a 60 km/h. Precisamos descobrir qual é a velocidade do carro fugitivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e o teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a situação com variáveis. Vamos chamar de a distância da viatura de polícia ao cruzamento e de a distância do carro fugitivo ao cruzamento. No instante em que estamos analisando:
  • km (a viatura está 6 km ao norte)
  • km (o fugitivo está 8 km a leste)
  • A velocidade da viatura km/h (negativo porque está se movendo em direção ao sul)
  • A velocidade do fugitivo km/h (que queremos encontrar)
  • A taxa de variação da distância entre eles km/h

Passo 3

A distância entre a viatura e o fugitivo pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que eles estão se movendo perpendicularmente um em relação ao outro:
Queremos encontrar a taxa de variação dessa distância em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a equação de em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Calculando o denominador:
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por 10:
Somando 360 aos dois lados:
Dividindo por 8:

Resposta

A velocidade do carro fugitivo é de 70 km/h.

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