Em um teatro, cinco garotos e cinco garotas escolheram aleatoriamente seus lugares em uma fila com exatamente 10 cadeiras. Dado que as cinco garotas estão em 5 cadeiras adjacentes, qual é a probabilidade de que os cinco garotos também estejam em 5 cadeiras adjacentes?
a) 1
b) 3/4
c) 1/3
d) 2/5
e) 1/2
a) 1
b) 3/4
c) 1/3
d) 2/5
e) 1/2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que temos 5 garotos e 5 garotas se sentando aleatoriamente em uma fila de 10 cadeiras. Sabemos que as 5 garotas estão juntas em cadeiras adjacentes. A pergunta é: qual é a probabilidade de que os 5 garotos também estejam juntos em cadeiras adjacentes? Vamos precisar usar conceitos de combinatória e probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes as 5 garotas podem estar juntas. Como elas ocupam 5 lugares adjacentes em uma fila de 10 cadeiras, podemos pensar nelas como um “bloco”. Esse bloco pode ocupar diferentes posições na fila.
Passo 3
Vamos calcular quantas posições esse bloco de 5 garotas pode ocupar. Em uma fila de 10 cadeiras, o primeiro assento do bloco pode estar na posição 1 até na posição 6. Isso porque se ele estiver na posição 6, o bloco vai até a posição 10. Assim, há 6 possíveis posições para o bloco das garotas.
Passo 4
Dentro desse bloco, as 5 garotas podem se organizar de várias maneiras. O número de arranjos é dado por
(5 fatorial), que é igual a 120 formas diferentes.
Passo 5
Depois de fixar o bloco das garotas, restam 5 cadeiras para os 5 garotos. Se queremos que eles também estejam juntos, eles devem ocupar um bloco de 5 cadeiras. Mas como as garotas já estão ocupando 5 cadeiras adjacentes, os garotos só podem ficar no outro bloco de 5 cadeiras adjacentes. Portanto, só há uma posição possível para os garotos.
Passo 6
Assim como as garotas, os garotos podem se organizar de
maneiras diferentes dentro do seu bloco, o que também dá 120 formas.
Passo 7
Agora, vamos calcular o total de arranjos possíveis mantendo as garotas juntas. Temos 6 posições para o bloco das garotas e, para cada posição, há 120 maneiras de organizar as garotas e 120 maneiras de organizar os garotos. Então, o total é
.
Passo 8
A probabilidade que queremos é a razão entre o número de arranjos onde ambos os grupos estão juntos e o número total de arranjos possíveis com as garotas juntas. Mas como já consideramos apenas os arranjos com as garotas juntas, a probabilidade de os garotos também estarem juntos é o número de arranjos com ambos os grupos juntos dividido pelo total de arranjos com as garotas juntas.
Resposta
A probabilidade de que os cinco garotos também estejam em 5 cadeiras adjacentes é
. Resposta correta: d)
.