Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 14 jogadores que 0 podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de 6 jogadores?
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que o problema está pedindo. A gente tem 14 jogadores disponíveis e precisa escolher 6 para formar o time de voleibol. Isso envolve o conteúdo de combinações, que é uma parte da matemática que trata de selecionar objetos sem se importar com a ordem. Para resolver, a gente vai precisar usar a fórmula de combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de combinações, que serve para calcular de quantas maneiras podemos escolher um grupo de $ k $ elementos a partir de um total de $ n $ elementos, sem se importar com a ordem. A fórmula é:
Onde “!” significa fatorial, ou seja, multiplicar todos os números inteiros de 1 até esse número.
Passo 3
No nosso caso, queremos escolher 6 jogadores ($ k = 6
n = 14 $). Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular esse valor. Os fatoriais podem ser grandes, mas podemos simplificar antes de multiplicar tudo. Vamos expandir o fatorial de 14 até 9, já que $ 8! $ vai se cancelar:
Passo 5
Agora, vamos simplificar as frações:
Primeiro, calculamos o denominador:
E o numerador:
Então:
Resposta
O técnico pode escalar o time de 6 jogadores de $ \boxed{3003} $ maneiras diferentes.