Os técnicos de um laboratório observaram que uma população de certo tipo de bactérias cresce segundo a função B(t)=10 elevado a 9 . 4³t com “t” sendo medido em horas. Qual o tempo necessário para que ocorra uma reprodução de 6,4.10¹0?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de crescimento populacional de bactérias. A função que descreve esse crescimento é $ B(t) = 10^{9} \cdot 4^{3t} $, onde $ t $ é o tempo em horas. A pergunta é: quanto tempo ($ t $) ele leva pra população atingir $ 6,4 \times 10^{10} $ bactérias? Para resolver isso, vamos usar funções exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que queremos resolver. Sabemos que queremos encontrar $ t $ tal que:
Passo 3
Vamos isolar $ 4^{3t} $. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por $ 10^{9} $:
Passo 4
Agora temos $ 4^{3t} = 64 $. Sabemos que 64 pode ser escrito como uma potência de 4? Sim! Porque:
Então, podemos escrever:
Passo 5
Quando as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais para que a igualdade seja válida. Portanto:
Passo 6
Agora é só resolver para $ t $:
Resposta
O tempo necessário para que a população de bactérias atinja $ 6,4 \times 10^{10} $ é de 1 hora.