Os técnicos de um laboratório observaram que uma população de certo tipo de bactérias cresce segundo a função B(t)=10 elevado a 9 . 4³t com “t” sendo medido em horas. Qual o tempo necessário para que ocorra uma reprodução de 6,4.10¹0?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de crescimento populacional de bactérias. A função que descreve esse crescimento é $ B(t) = 10^{9} \cdot 4^{3t} $, onde $ t $ é o tempo em horas. A pergunta é: quanto tempo ($ t $) ele leva pra população atingir $ 6,4 \times 10^{10} $ bactérias? Para resolver isso, vamos usar funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que queremos resolver. Sabemos que queremos encontrar $ t $ tal que:
t

Passo 3

Vamos isolar $ 4^{3t} $. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por $ 10^{9} $:
4^3t

Passo 4

Agora temos $ 4^{3t} = 64 $. Sabemos que 64 pode ser escrito como uma potência de 4? Sim! Porque:
4^3t = 64
Então, podemos escrever:
4^3 = 64

Passo 5

Quando as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais para que a igualdade seja válida. Portanto:
3t = 3

Passo 6

Agora é só resolver para $ t $:
t

Resposta

O tempo necessário para que a população de bactérias atinja $ 6,4 \times 10^{10} $ é de 1 hora.

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