Os técnicos de um laboratório observaram que uma população de certo tipo de bactérias cresce segundo a função B(t) = 10^9.43t com “t” sendo medido em horas. Qual o tempo necessário para que ocorra uma reprodução de 6,4.10^10 bactérias?
a) 1 h
b) 3 h
c) 4 h
d) 6 h
e) 16 h
a) 1 h
b) 3 h
c) 4 h
d) 6 h
e) 16 h
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve o crescimento de bactérias: $ B(t) = 10^{9,43t} $, onde $ t $ é o tempo em horas. Queremos descobrir em quanto tempo $ t $ a população de bactérias alcançará $ 6,4 \times 10^{10} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função $ B(t) $ ao número de bactérias que queremos alcançar:
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ t $.
Passo 3
Para resolver a equação acima, vamos usar logaritmos. Logaritmos nos ajudam a lidar com exponenciais. Vamos aplicar o logaritmo na base 10 dos dois lados da equação:
Passo 4
Sabemos que $ \log_{10}(10^x) = x $. Então, simplificando o lado esquerdo:
Passo 5
Calculando $ \log_{10}(6,4) $:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por 9,43:
Resposta
O tempo necessário para que a população de bactérias alcance $ 6,4 \times 10^{10} $ é aproximadamente 1 hora. Portanto, a resposta correta é a opção a) 1 h.