Os técnicos de um laboratório observaram que uma população de certo tipo de bactérias cresce segundo a função B(t) = 10^9.43t com “t” sendo medido em horas. Qual o tempo necessário para que ocorra uma reprodução de 6,4.10^10 bactérias?
a) 1 h
b) 3 h
c) 4 h
d) 6 h
e) 16 h

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve o crescimento de bactérias: $ B(t) = 10^{9,43t} $, onde $ t $ é o tempo em horas. Queremos descobrir em quanto tempo $ t $ a população de bactérias alcançará $ 6,4 \times 10^{10} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função $ B(t) $ ao número de bactérias que queremos alcançar:
B(t)
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ t $.

Passo 3

Para resolver a equação acima, vamos usar logaritmos. Logaritmos nos ajudam a lidar com exponenciais. Vamos aplicar o logaritmo na base 10 dos dois lados da equação:
log10(10^9,43t) = log10(6,4 times 10^10)

Passo 4

Sabemos que $ \log_{10}(10^x) = x $. Então, simplificando o lado esquerdo:
log10(10^x) = x
9,43t = log10(6,4) + log10(10^10)

Passo 5

Calculando $ \log_{10}(6,4) $:
log10(6,4)
Então, a equação fica:
log10(6,4) approx 0,806
9,43t = 0,806 + 10

Passo 6

Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por 9,43:
t

Resposta

O tempo necessário para que a população de bactérias alcance $ 6,4 \times 10^{10} $ é aproximadamente 1 hora. Portanto, a resposta correta é a opção a) 1 h.

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