Uma tela é colocada a uma distância d à direita de um objeto. Uma lente convergente com distância focal f é posicionada entre o objeto e a lente. Em termos de f, qual é o menor valor de d para que uma imagem esteja focalizada na tela?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está dizendo e identificar o que precisamos saber para resolver. Temos uma tela colocada a uma distância $ d $ do objeto. Entre o objeto e a tela, colocamos uma lente convergente com distância focal $ f $. A pergunta quer saber qual é o menor valor de $ d $ para que a imagem do objeto fique focada na tela. Para resolver isso, vamos precisar entender como as lentes convergentes formam imagens e usar a equação das lentes para relacionar as distâncias envolvidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da equação das lentes convergentes, que é:
1f = 1do + 1di
Aqui:
  • $ f $ é a distância focal da lente.
  • $ d_o $ é a distância do objeto até a lente.
  • $ d_i $ é a distância da imagem até a lente.
Também sabemos que a distância total entre o objeto e a tela é $ d $, então:
f

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o menor valor de $ d $ que permita que a imagem fique focada na tela. Para isso, vamos usar a equação das lentes e a relação entre as distâncias.
Primeiro, expressamos $ d_i $ em termos de $ d $ e $ d_o $:
d
Agora, substituímos $ d_i $ na equação das lentes:
di

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor mínimo de $ d $. Para simplificar, vamos encontrar uma condição onde o sistema está no limite de formar uma imagem real e focada na tela.
Isso acontece quando o objeto está posicionado no ponto focal da lente. Nesse caso, a distância do objeto até a lente $ d_o $ é igual à distância focal $ f $:
d
Substituindo $ d_o $ por $ f $ na equação da distância total $ d $:
do

Passo 5

Agora, usando a equação das lentes novamente com $ d_o = f $:
do = f
Subtraindo $ \frac{1}{f} $ de ambos os lados:
1f = 1f + 1di
Isso nos indica que, quando o objeto está exatamente no ponto focal, a imagem é formada no infinito. Para que a imagem esteja focada na tela, precisamos que a tela esteja justamente no ponto onde a imagem seria formada para um objeto um pouco além do ponto focal.

Passo 6

A condição mínima ocorre quando o objeto está a uma distância um pouco maior que $ f $, fazendo com que a imagem também esteja a uma distância um pouco maior que $ f $. No limite, podemos considerar que o menor valor de $ d $ ocorre quando:
f
Isso significa que a tela deve estar a uma distância igual a duas vezes a distância focal da lente para que a imagem seja focada corretamente.

Resposta

O menor valor de $ d $ para que a imagem esteja focalizada na tela é:
d

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