Temos por definição de taxa efetiva, uma taxa sempre maior que a taxa nominal oferecida. Sendo assim, se em um empréstimo bancário for dada uma taxa nominal de 98% ao ano capitalizada mensalmente (deseja-se ao mês), qual será a taxa efetiva desta transação?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma taxa nominal de 98% ao ano em um empréstimo bancário, que é capitalizada mensalmente. O que precisamos descobrir é qual é a taxa efetiva dessa transação. Para isso, vamos usar conceitos de taxas de juros nominais e efetivas e a capitalização de juros.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são essas taxas:
  • Taxa Nominal (iₙ): É a taxa de juros anunciada sem considerar a capitalização. No nosso caso, é 98% ao ano, ou seja, iₙ = 98% ao ano.
  • Taxa Efetiva (iₑ): É a taxa que realmente será paga ou recebida, considerando a capitalização dos juros. Ela é sempre maior que a taxa nominal quando há capitalização.
Como a capitalização é mensal, vamos precisar converter a taxa anual para mensal. A gente faz isso dividindo a taxa nominal anual pelo número de meses no ano:
im = iₙ12
Onde:
  • $ i_m $ é a taxa mensal nominal.

Passo 3

Agora, substituindo os valores:
im = 98%12 = 8,1667% ao mês ê
Então, a taxa nominal mensal é 8,1667%.

Passo 4

Para encontrar a taxa efetiva mensal, usamos a fórmula da taxa efetiva baseada na taxa nominal e na frequência de capitalização:
iₑ = (1 + iₙn)^n - 1
Onde:
  • $ iₑ $ é a taxa efetiva.
  • $ iₙ $ é a taxa nominal.
  • $ n $ é o número de períodos de capitalização por ano.
No nosso caso, queremos a taxa efetiva mensal, então $ n = 1 $ (já que estamos calculando para um mês).
iₑ

Resposta

A taxa efetiva mensal dessa transação é de 8,1667%.

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