A temperatura de uma substância incompressível de massa
e calor específico
é reduzida a partir de
para
por um ciclo de refrigeração. O ciclo recebe energia sob a forma de calor à temperatura
da substância e rejeita energia sob a forma de calor a
para a vizinhança. Não ocorrem outras formas de transferência de calor. Represente graficamente (
) em função de
variando de 0,8 a 1,0 , em que
representa o trabalho té́rico mínimo requerido pelo ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma substância com massa $ m $ e calor específico $ c $ que está sofrendo uma redução de temperatura de $ T_0 $ para $ T $ usando um ciclo de refrigeração. Queremos descobrir o trabalho mínimo teórico $ W_{min} $ necessário para esse processo e representar, graficamente, a relação $ \frac{W_{min}}{m c T_0} $ em função de $ \frac{T}{T_0} $, variando $ \frac{T}{T_0} $ de 0,8 a 1,0.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, como ciclo de refrigeração reversível (tipo Carnot), eficiência térmica e como relacionar essas grandezas para encontrar o trabalho mínimo necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um ciclo de refrigeração reversível, o coeficiente de performance (COP) é dado por:
Onde:
- $ Q_L $ é o calor retirado da substância a baixa temperatura $ T $.
- $ W $ é o trabalho realizado pelo ciclo.
Para o ciclo reversível, o COP também pode ser expresso em termos das temperaturas:
Essa relação vem da eficiência de um ciclo de Carnot aplicado como refrigerador.
Passo 3
Queremos encontrar o trabalho mínimo $ W_{min} $. Rearranjando a fórmula do COP, temos:
Substituindo a expressão do COP reversível:
Agora, precisamos expressar $ Q_L $ em termos das propriedades fornecidas. Sabemos que:
Isso porque o calor retirado pela substância é igual à massa vezes o calor específico vezes a variação de temperatura.
Passo 4
Substituindo $ Q_L $ na equação de $ W_{min} $:
Agora, queremos a relação $ \frac{W_{min}}{m c T_0} $. Vamos dividir ambos os lados da equação por $ m c T_0 $:
Passo 5
Para simplificar, vamos expressar tudo em termos de $ \frac{T}{T_0} $. Vamos chamar $ x = \frac{T}{T_0} $. Então, $ T = x T_0 $. Substituindo na equação:
Passo 6
Portanto, a relação que queremos plotar é:
Agora, podemos calcular $ \frac{W_{min}}{m c T_0} $ para valores de $ x $ variando de 0,8 a 1,0.
Passo 7
Vamos resumir os passos para a criação do gráfico:
- Definir o intervalo de $ x $: De 0,8 a 1,0.
- Calcular $ \frac{W_{min}}{m c T_0} $ usando a fórmula $ \frac{(1 - x)^2}{x} $ para cada valor de $ x $.
- Plotar os pontos no gráfico com $ x $ no eixo horizontal e $ \frac{W_{min}}{m c T_0} $ no eixo vertical.
- Traçar a curva conectando os pontos calculados.
Resposta
A relação $ \frac{W_{min}}{m c T_0} = \frac{(1 - \frac{T}{T_0})^2}{\frac{T}{T_0}} $ foi obtida, e o gráfico dessa expressão para $ \frac{T}{T_0} $ variando de 0,8 a 1,0 representa o trabalho mínimo teórico necessário pelo ciclo de refrigeração.