A temperatura de uma substância incompressível de massa m e calor específico c é reduzida a partir de T0 para T( por um ciclo de refrigeração. O ciclo recebe energia sob a forma de calor à temperatura T da substância e rejeita energia sob a forma de calor a T0 para a vizinhança. Não ocorrem outras formas de transferência de calor. Represente graficamente ( W min / m c T0 ) em função de T / T0 variando de 0,8 a 1,0 , em que W min representa o trabalho té́rico mínimo requerido pelo ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma substância com massa $ m $ e calor específico $ c $ que está sofrendo uma redução de temperatura de $ T_0 $ para $ T $ usando um ciclo de refrigeração. Queremos descobrir o trabalho mínimo teórico $ W_{min} $ necessário para esse processo e representar, graficamente, a relação $ \frac{W_{min}}{m c T_0} $ em função de $ \frac{T}{T_0} $, variando $ \frac{T}{T_0} $ de 0,8 a 1,0.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, como ciclo de refrigeração reversível (tipo Carnot), eficiência térmica e como relacionar essas grandezas para encontrar o trabalho mínimo necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um ciclo de refrigeração reversível, o coeficiente de performance (COP) é dado por:
COP = QLW
Onde:
  • $ Q_L $ é o calor retirado da substância a baixa temperatura $ T $.
  • $ W $ é o trabalho realizado pelo ciclo.
Para o ciclo reversível, o COP também pode ser expresso em termos das temperaturas:
QL í
Essa relação vem da eficiência de um ciclo de Carnot aplicado como refrigerador.

Passo 3

Queremos encontrar o trabalho mínimo $ W_{min} $. Rearranjando a fórmula do COP, temos:
Wmin í
Substituindo a expressão do COP reversível:
W = QLCOPreversível
Agora, precisamos expressar $ Q_L $ em termos das propriedades fornecidas. Sabemos que:
Wmin = QL cdot T0 - TT
Isso porque o calor retirado pela substância é igual à massa vezes o calor específico vezes a variação de temperatura.

Passo 4

Substituindo $ Q_L $ na equação de $ W_{min} $:
QL
Agora, queremos a relação $ \frac{W_{min}}{m c T_0} $. Vamos dividir ambos os lados da equação por $ m c T_0 $:
Wmin

Passo 5

Para simplificar, vamos expressar tudo em termos de $ \frac{T}{T_0} $. Vamos chamar $ x = \frac{T}{T_0} $. Então, $ T = x T_0 $. Substituindo na equação:
TT0

Passo 6

Portanto, a relação que queremos plotar é:
Wminm c T0 = (1 - x)^2x onde x = TT0
Agora, podemos calcular $ \frac{W_{min}}{m c T_0} $ para valores de $ x $ variando de 0,8 a 1,0.

Passo 7

Vamos resumir os passos para a criação do gráfico:
  1. Definir o intervalo de $ x $: De 0,8 a 1,0.
  2. Calcular $ \frac{W_{min}}{m c T_0} $ usando a fórmula $ \frac{(1 - x)^2}{x} $ para cada valor de $ x $.
  3. Plotar os pontos no gráfico com $ x $ no eixo horizontal e $ \frac{W_{min}}{m c T_0} $ no eixo vertical.
  4. Traçar a curva conectando os pontos calculados.

Resposta

A relação $ \frac{W_{min}}{m c T_0} = \frac{(1 - \frac{T}{T_0})^2}{\frac{T}{T_0}} $ foi obtida, e o gráfico dessa expressão para $ \frac{T}{T_0} $ variando de 0,8 a 1,0 representa o trabalho mínimo teórico necessário pelo ciclo de refrigeração.

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