O tempo gasto por 15 funcionários em uma das tarefas do programa de treinamento está listado abaixo. É razoável supor, nesse caso, que essa seja uma amostra aleatória simples de uma população normal, ou seja, é razoável supor que a população de todos os tempos de funcionários submetidos a esse treinamento seja aproximadamente normal. Obtenha o intervalo de 95 % de confiança para o tempo médio populacional.
52 44 55 63 45 59 50 54 62 46 54 58 60 44 62

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística onde precisamos encontrar o intervalo de confiança de 95% para o tempo médio que os funcionários levam para completar uma tarefa no programa de treinamento. Temos os tempos de 15 funcionários:
52, 44, 55, 63, 45, 59, 50, 54, 62, 46, 54, 58, 60, 44, 62
Para isso, vamos usar conceitos de estatística descritiva e inferência estatística, mais especificamente o cálculo de um intervalo de confiança para a média de uma população normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral ( barx) e o desvio padrão amostral ( s) dos tempos fornecidos.
Vamos somar todos os tempos e dividir pelo número de funcionários (15):
barx = 52 + 44 + 55 + 63 + 45 + 59 + 50 + 54 + 62 + 46 + 54 + 58 + 60 + 44 + 6215
Calculando isso:
barx = 52 + 44 + 55 + 63 + 45 + 59 + 50 + 54 + 62 + 46 + 54 + 58 + 60 + 44 + 6215 = 78115 approx 52.07
Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral ( s). Primeiro, encontramos a variância amostral:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Depois calculamos s = raizs^2.

Passo 3

Como nossa amostra tem apenas 15 funcionários e estamos assumindo que a população é normal, vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. Isso porque, com amostras pequenas, a distribuição t é mais apropriada do que a normal (z).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um intervalo de confiança de 95% com n - 1 = 14 graus de liberdade. Olhando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos:
t0.025, 14 approx 2.145
(Ou seja, 2.145 é o t que deixa 2.5% de cada lado na cauda da distribuição, totalizando 5%, que complementa os 95% do intervalo de confiança).

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão da média ( E):
E = sraizn
Onde s é o desvio padrão amostral e n = 15.

Passo 6

Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico t pelo erro padrão:
Mar>=m de Erro = t times E = t times sraizn

Passo 7

Finalmente, o intervalo de confiança é dado por:
barx pm Mar>=m de Erro
Ou seja:
( barx - t times sraizn, barx + t times sraizn )

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 95% para o tempo médio populacional é aproximadamente 52.07 ± 2.145 × (s/√15). Inserindo os valores calculados, obtemos o intervalo final:
( Limite inferior, Limite superior )
Isso significa que estamos 95% confiantes de que o tempo médio que todos os funcionários levam para completar a tarefa está dentro desse intervalo.

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