Numa pesquisa sobre sedentarismo, deseja-se estimar a porcentagem de indivíduos sedentários numa certa população. Numa amostra de 380 indivíduos, encontram-se 194 sedentários. Encontre um intervalo de 95 % de confiança para a proporção de indivíduos sedentários.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente quer descobrir qual a porcentagem de pessoas sedentárias numa população. Para isso, fizemos uma pesquisa com 380 indivíduos e descobrimos que 194 são sedentários. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalo de confiança para proporção, para resolver isso. Precisamos calcular a proporção de sedentários na amostra e depois determinar o intervalo de confiança de 95% para essa proporção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a proporção de indivíduos sedentários na nossa amostra. A proporção ( p) é o número de sedentários dividido pelo total de indivíduos na amostra.
p = 194380

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de p:
p = 194380 approx 0,5105
Então, aproximadamente 51,05% da nossa amostra é sedentária.

Passo 4

Para determinar o intervalo de confiança de 95%, precisamos achar o valor crítico ( z) correspondente a esse nível de confiança. Sabemos que para 95%, o z é aproximadamente 1,96.

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão ( E) da proporção. A fórmula para o erro padrão é:
E = z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • z = 1,96
  • p = 0,5105
  • n = 380
Vamos substituir os valores:
E = 1,96 times raiz0,5105 times (1 - 0,5105)380

Passo 6

Calculando dentro da raiz:
0,5105 times (1 - 0,5105) = 0,5105 times 0,4895 approx 0,2495
Então:
E = 1,96 times raiz0,2495380 approx 1,96 times raiz0,000655 approx 1,96 times 0,0256 approx 0,0502

Passo 7

Agora, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo o erro padrão à proporção:
IC = p pm E = 0,5105 pm 0,0502

Passo 8

Calculando os limites do intervalo:
0,5105 - 0,0502 = 0,4603 0,5105 + 0,0502 = 0,5607

Resposta

O intervalo de 95% de confiança para a proporção de indivíduos sedentários na população é aproximadamente entre 46,03% e 56,07%.

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