No tempo t=0, uma partícula é representada pela função de onda
Psi(x, 0)=lll A xa & se & 0 <= x <= a Ab^b-x & se & ab
(i) Normalize Psi(x, 0), isto é, calcule o fator de normalização A como função de a e b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função de onda Psi(x, 0) de uma partícula no tempo t=0. Nosso objetivo é normalizar essa função, ou seja, encontrar o fator de normalização A em termos de a e b. Para isso, vamos usar os conceitos de funções de onda e normalização na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, lembrar que para a função de onda estar normalizada, a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é:
integral-infty^+infty |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
No nosso caso, Psi(x, 0) é diferente de zero apenas entre 0 e b, então a integral fica:
integral0^a | A xa |^2 dx + integrala^b | A b^b-x |^2 dx = 1

Passo 3

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Primeiro, para 0 <= x <= a:
| A xa |^2 = A^2 x^2a^2
Então, a integral fica:
A^2 1a^2 integral0^a x^2 dx
A integral de x^2 de 0 a a é a^33, então:
A^2 1a^2 cdot a^33 = A^2 a3

Passo 4

Agora, para a < x <= b:
| A b^b-x |^2 = A^2 b^2(b-x) = A^2 b^2b - 2x
A integral fica:
A^2 integrala^b b^2b - 2x dx
Para simplificar, fazemos a substituição u = 2b - 2x, então du = -2 dx, ou dx = -du2. Os limites mudam de x = a para u = 2b - 2a e x = b para u = 0.
Assim:
A^2 integral2b-2a^0 b^u (-du2) = A^2 12 integral0^2b-2a b^u du
A integral de b^u em relação a u é b^uln b, então:
A^2 12 [ b^uln b ]0^2b-2a = A^2 12 ln b ( b^2b-2a - 1 )

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes da integral igualada a 1:
A^2 a3 + A^2 12 ln b ( b^2b-2a - 1 ) = 1
Fatorando o A^2:
A^2 ( a3 + b^2b-2a - 12 ln b ) = 1

Resposta

Resolvendo para A, temos:
A = raiz, 1, dfraca3 + dfracb^2b-2a - 12 ln b ,

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