Tendo em vista um pêndulo físico encontre a equação diferencial que descreva pequenas oscilações em ø e desliza o período de oscilações T. Recupere o caso do pêndulo simples. Utilize o conceito de torque para resolver o problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação diferencial que descreve as pequenas oscilações de um pêndulo físico e determinar o período de oscilações $ T $. Além disso, temos que recuperar o caso do pêndulo simples usando o conceito de torque. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de torque, momento de inércia e como eles se relacionam nas oscilações de um pêndulo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um pêndulo físico. Diferente do pêndulo simples, que é idealizado como uma massa pontual presa a uma corda rígida, o pêndulo físico tem uma distribuição de massa ao redor do ponto de suspensão. Isso significa que precisamos levar em conta o momento de inércia ($ I $) do pêndulo quando estamos calculando o torque.
Passo 3
O torque ($ \tau $) é uma medida de quanto uma força causa uma rotação em torno de um ponto. No caso do pêndulo, o torque é causado pela força gravitacional que age no centro de massa do pêndulo. A fórmula do torque é:
Onde:
- $ m $ é a massa do pêndulo,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ l_{cm} $ é a distância do ponto de suspensão até o centro de massa,
- $ \theta $ é o ângulo de deslocamento.
O sinal negativo indica que o torque sempre age no sentido contrário ao deslocamento, tentando trazer o pêndulo de volta ao equilíbrio.
Passo 4
Para pequenas oscilações, podemos aproximar $ \sin(\theta) \approx \theta $ quando $ \theta $ está em radianos. Assim, a equação do torque fica mais simples:
Agora, usando a segunda lei de Newton para rotação, que diz que $ \tau = I \alpha $, onde $ \alpha $ é a aceleração angular, temos:
Passo 5
Vamos reorganizar essa equação para obter a equação diferencial:
Essa é a equação diferencial que descreve as pequenas oscilações de um pêndulo físico. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução harmônica, indicando que o movimento é oscilatório.
Passo 6
Para encontrar o período de oscilações $ T $, comparamos nossa equação com a forma padrão:
Onde $ \omega $ é a frequência angular. Assim, temos:
O período $ T $ está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Passo 7
Agora, vamos recuperar o caso do pêndulo simples. No pêndulo simples, consideramos que toda a massa está concentrada no ponto de suspensão, então o momento de inércia é:
Substituindo $ I $ na fórmula do período, temos:
Isso confirma a fórmula clássica do período do pêndulo simples!
Resposta
A equação diferencial que descreve as pequenas oscilações de um pêndulo físico é:
E o período de oscilações $ T $ é dado por:
No caso do pêndulo simples, essa fórmula se reduz a: