A tensão de ruptura de cabos fabricados por uma empresa apresenta distribuição normal, com média de 1.800 kg e desvio padrão de 100 kg. Mediante uma nova técnica de produção, proclamou-se que a tensão de ruptura teria aumentado. Para testar essa declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, obtendo-se como tensão média de ruptura 1.850 kg. Pode-se aceitar a proclamação ao nível de 5 % ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre a tensão de ruptura de cabos, que é basicamente a força máxima que um cabo pode aguentar antes de quebrar. A empresa que fabrica esses cabos afirma que, com uma nova técnica de produção, essa tensão aumentou. Para verificar se isso é verdade, eles fizeram um teste com 50 cabos e encontraram uma média de ruptura de 1.850 kg. Nosso objetivo é determinar se podemos aceitar essa afirmação da empresa com um nível de confiança de 5%.

Passo 2

Aqui, estamos lidando com estatística inferencial, especificamente com um teste de hipótese. Queremos saber se a média da população (todos os cabos produzidos) realmente aumentou. Para isso, vamos formular duas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A média da tensão de ruptura é igual a 1.800 kg (não houve aumento).
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média da tensão de ruptura é maior que 1.800 kg (houve aumento).

Passo 3

Vamos utilizar o teste z, que é apropriado aqui porque sabemos o desvio padrão da população (100 kg) e o tamanho da amostra é grande (50 cabos). A fórmula para o teste z é:
z = barx - musigmaraizn
Onde:
  • é a média da amostra (1.850 kg),
  • é a média da população sob a hipótese nula (1.800 kg),
  • é o desvio padrão da população (100 kg),
  • é o tamanho da amostra (50).

Passo 4

Vamos calcular o valor de z usando os valores fornecidos:
z = 1850 - 1800100raiz50 = 501007.071 approx 5014.142 approx 3.536

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de confiança de 5%. Como estamos testando se a média aumentou (teste unilateral), buscamos o valor de z que deixa 5% na cauda direita da distribuição normal. Esse valor é aproximadamente 1.645.

Passo 6

Comparamos nosso valor calculado de z (3.536) com o valor crítico (1.645):
  • Se z calculado > z crítico, rejeitamos a hipótese nula.
  • Neste caso, 3.536 > 1.645.

Resposta

Como o valor de z calculado (3.536) é maior que o valor crítico (1.645), podemos rejeitar a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para aceitar a proclamação de que a nova técnica de produção aumentou a tensão de ruptura dos cabos ao nível de 5%.

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