Querendo estimar a proporção de defeitos de uma linha de produção de uma peça, examinou-se uma amostra de 100 peças, encontrando-se 30 defeituosas. Sabe-se que o estimador p0 para esse tamanho de amostra tem desvio padrão de 3 %. Encontrar os limites de confiança de 95 % para p e o respectivo erro de estimação.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que trata de estimativa de proporção numa linha de produção. A ideia é descobrir qual a proporção de peças defeituosas. Para isso, vamos usar intervalo de confiança e erro de estimação. Precisamos entender como calcular esses limites com base na amostra que foi analisada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a proporção de defeituosos na amostra. Foram examinadas 100 peças e 30 deram defeito. Então, a proporção amostral ( p = 30100 = 0,3 ) é:

Passo 3

Sabemos que o desvio padrão do estimador para essa amostra é de , ou seja, .

Passo 4

Para construir um intervalo de confiança de , precisamos do valor crítico da distribuição normal padrão correspondente a . Esse valor é aproximadamente .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
IC = p pm z cdot sigmap
Substituindo os valores:
IC = 0,3 pm 1,96 times 0,03
Calculando a margem de erro:
1,96 times 0,03 = 0,0588
Então, os limites ficam:
0,3 - 0,0588 = 0,2412
0,3 + 0,0588 = 0,3588

Passo 6

O erro de estimação é exatamente a margem que encontramos, que foi , ou seja, aproximadamente .

Resposta

Os limites de confiança de para a proporção são aproximadamente e , com um erro de estimação de .

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