Uma tensão de tração deve ser aplicada ao longo do eixo do comprimento de uma barra cilindrica de latão, com diâmetro de 9 mm . Determine a magnitude da carga necessária para produzir uma variação de 2,4 times 10^-3 mm no diâmetro, se a deformação for puramente elástica. O módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson são 110 GPa e 0,33, respectivamente. (2 pontos)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de resistência dos materiais que envolve a aplicação de uma tensão de tração em uma barra cilíndrica de latão. Precisamos encontrar a carga necessária para causar uma variação específica no diâmetro da barra quando a deformação é puramente elástica. Para isso, vamos usar conceitos de módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o coeficiente de Poisson ( nu) relaciona a deformação lateral (na direção do diâmetro) com a deformação longitudinal (na direção do comprimento) quando uma força é aplicada. A fórmula que liga a variação de diâmetro ( De) com a carga ( F) é:
De
Onde:
  • De é a variação no diâmetro
  • nu é o coeficiente de Poisson
  • F é a carga aplicada
  • d é o diâmetro original
  • A é a área da seção transversal
  • E é o módulo de elasticidade

Passo 3

Vamos rearranjar a fórmula para resolver a carga F:
F = De

Passo 4

Calculamos a área da seção transversal da barra cilíndrica usando a fórmula da área de um círculo:
A = pi d^24
Substituindo os valores:
  • d = 9 , mm = 9 times 10^-3 , m
  • De
  • E = 110 , GPa = 110 times 10^9 , Pa
  • nu = 0,33
Calculando A:
A = pi (9 times 10^-3)^24 = pi times 81 times 10^-64 = 81pi times 10^-64 approx 6,36 times 10^-5 , m^2

Passo 5

Agora, substituímos todos os valores na fórmula de F:
F = 2,4 times 10^-6 times 6,36 times 10^-5 times 110 times 10^90,33 times 9 times 10^-3
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicamos os numeradores:
2,4 times 10^-6 times 6,36 times 10^-5 times 110 times 10^9 = 2,4 times 6,36 times 110 times 10^-6-5+9 = 2,4 times 6,36 times 110 times 10^-2 approx 16838,4 times 10^-2 = 168,384
  1. Multiplicamos os denominadores:
0,33 times 9 times 10^-3 = 2,97 times 10^-3
  1. Dividimos os dois resultados:
F = 168,3842,97 times 10^-3 approx 56.73 times 10^3 , N = 56,730 , N

Resposta

A carga necessária para produzir a variação de diâmetro especificada é aproximadamente 5,673 times 10^4 , N.

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