O teste de conhecimentos gerais chamado Graduate Record Examination (GRE) tem componentes que medem o raciocínio verbal e o raciocínio quantitativo. O exame verbal e o exame quantitativo têm cada um uma pontuação mínima de 200 e máxima de 800. Nos últimos anos, a pontuação total nos dois exames teve aproximadamente uma distribuição normal com uma média de cerca de 1050 e desvio padrão de cerca de 200.
Dos participantes do teste GRE que pontuaram acima de 1.200, qual proporção deles teve pontuação acima de 1.400?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o teste GRE, que tem duas partes: verbal e quantitativa, cada uma com pontuação de 200 a 800. A pontuação total (somando as duas) segue uma distribuição normal com média de 1050 e desvio padrão de 200. A pergunta é: entre quem pontuou acima de 1200, qual a proporção que pontuou acima de 1400? Vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e probabilidade condicional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Ela é uma curva simétrica onde a maioria dos valores se concentra em torno da média. No nosso caso, a média é 1050 e o desvio padrão é 200. Isso nos ajuda a calcular a probabilidade de uma pontuação cair em determinado intervalo.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de alguém ter uma pontuação acima de 1400, dado que já sabemos que essa pessoa pontuou acima de 1200. Em termos de probabilidade condicional, isso é $ P(X > 1400 \mid X > 1200) $.

Passo 4

Para calcular isso, usamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
Aqui, $ A $ é “pontuar acima de 1400” e $ B $ é “pontuar acima de 1200”. Como $ A $ já está incluído em $ B $, temos $ P(A \cap B) = P(A) $.

Passo 5

Então, a probabilidade que queremos é:
P(X > 1400 mid X > 1200) = P(X > 1400)P(X > 1200)
Agora, precisamos encontrar $ P(X > 1400) $ e $ P(X > 1200) $ usando a distribuição normal.

Passo 6

Vamos calcular os valores z para 1400 e 1200 usando a fórmula:
z = X - musigma
Para $ X = 1400 $:
X = 1400
Para $ X = 1200 $:
z = 1400 - 1050200 = 350200 = 1,75

Passo 7

Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar as probabilidades:
  • $ P(X > 1400) = P(z > 1,75) $
  • $ P(X > 1200) = P(z > 0,75) $
Usando a tabela, encontramos:
P(X > 1400) = P(z > 1,75)
P(X > 1200) = P(z > 0,75)

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na fórmula da probabilidade condicional:
P(X > 1400 mid X > 1200) = 0,04010,2266 approx 0,177

Resposta

Aproximadamente 17,7% das pessoas que pontuaram acima de 1.200 no GRE tiveram pontuação acima de 1.400.

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