O teste de conhecimentos gerais chamado Graduate Record Examination (GRE) tem componentes que medem o raciocínio verbal e o raciocínio quantitativo. O exame verbal e o exame quantitativo têm cada um uma pontuação mínima de 200 e máxima de 800. Nos últimos anos, a pontuação total nos dois exames teve aproximadamente uma distribuição normal com uma média de cerca de 1050 e desvio padrão de cerca de 200.
Dos participantes do teste GRE que pontuaram acima de 1.200, qual proporção deles teve pontuação acima de 1.400?
Dos participantes do teste GRE que pontuaram acima de 1.200, qual proporção deles teve pontuação acima de 1.400?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o teste GRE, que tem duas partes: verbal e quantitativa, cada uma com pontuação de 200 a 800. A pontuação total (somando as duas) segue uma distribuição normal com média de 1050 e desvio padrão de 200. A pergunta é: entre quem pontuou acima de 1200, qual a proporção que pontuou acima de 1400? Vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e probabilidade condicional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Ela é uma curva simétrica onde a maioria dos valores se concentra em torno da média. No nosso caso, a média é 1050 e o desvio padrão é 200. Isso nos ajuda a calcular a probabilidade de uma pontuação cair em determinado intervalo.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de alguém ter uma pontuação acima de 1400, dado que já sabemos que essa pessoa pontuou acima de 1200. Em termos de probabilidade condicional, isso é $ P(X > 1400 \mid X > 1200) $.
Passo 4
Para calcular isso, usamos a fórmula da probabilidade condicional:
Aqui, $ A $ é “pontuar acima de 1400” e $ B $ é “pontuar acima de 1200”. Como $ A $ já está incluído em $ B $, temos $ P(A \cap B) = P(A) $.
Passo 5
Então, a probabilidade que queremos é:
Agora, precisamos encontrar $ P(X > 1400) $ e $ P(X > 1200) $ usando a distribuição normal.
Passo 6
Vamos calcular os valores z para 1400 e 1200 usando a fórmula:
Para $ X = 1400 $:
Para $ X = 1200 $:
Passo 7
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar as probabilidades:
- $ P(X > 1400) = P(z > 1,75) $
- $ P(X > 1200) = P(z > 0,75) $
Usando a tabela, encontramos:
Passo 8
Agora, substituímos esses valores na fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
Aproximadamente 17,7% das pessoas que pontuaram acima de 1.200 no GRE tiveram pontuação acima de 1.400.