Um teste de múltipla escolha possui 10 questões, cada uma com 4 alternativas. Qual a probabilidade de um estudante que chuta todas as respostas acertar exatamente 5 questões?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um teste de múltipla escolha com 10 questões, cada uma tendo 4 alternativas. Queremos descobrir qual é a probabilidade de um estudante que está chutando todas as respostas acertar exatamente 5 dessas questões. Isso envolve conceitos de probabilidade binomial, que é usada quando temos um certo número de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados: sucesso ou fracasso. Aqui, o “sucesso” é acertar uma questão chutando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da probabilidade binomial. Ela é usada para calcular a probabilidade de obter exatamente P(k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k sucessos em tentativas. A fórmula é:
Onde:
  • é o número de combinações de itens tomados a .
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.

Passo 3

Vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
  • Número total de questões ( ) = 10
  • Número de acertos desejados ( ) = 5
  • Probabilidade de acertar uma questão chutando ( ) = (já que há 4 alternativas)

Passo 4

Agora, vamos calcular o número de combinações possíveis para acertar exatamente 5 questões de 10. Usamos a combinação:
binom105 = 10!5! times (10 - 5)! = 10 times 9 times 8 times 7 times 65 times 4 times 3 times 2 times 1 = 252

Passo 5

Em seguida, calculamos p^k = 0,25^5 = 0,0009765625 e (1 - p)^n - k = 0,75^5 = 0,2373046875 :

Passo 6

Agora, multiplicamos todos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(5) = 252 times 0,0009765625 times 0,2373046875 approx 0,0584

Resposta

A probabilidade de um estudante que chuta todas as respostas acertar exatamente 5 das 10 questões é de aproximadamente 5,84%.

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