Uma variável aleatória uniforme discreta assume valores 1,3,5,7,9. Calcule Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma variável aleatória discreta uniforme que pode assumir os valores {1, 3, 5, 7, 9}. Nosso objetivo é calcular a variância dessa variável, que chamamos de Var(X). Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de probabilidade e estatística, como média (esperança matemática) e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma variável aleatória discreta uniforme. Isso quer dizer que cada valor que a variável pode assumir tem a mesma probabilidade de ocorrer. No nosso caso, temos 5 valores possíveis: 1, 3, 5, 7 e 9. Então, a probabilidade de cada um desses valores é igual.

Passo 3

Como cada valor tem a mesma probabilidade, podemos calcular essa probabilidade dividindo 1 pelo número total de valores possíveis. Temos 5 valores, então:
P(X = x) = 15, para x in 1, 3, 5, 7, 9

Passo 4

Agora, vamos calcular a média (esperança matemática) da variável X. A fórmula para a média é:
mu = E(X) = sumi=1^n xi cdot P(X = xi)
Substituindo os valores que temos:
mu = 15(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 15(25) = 5
Então, a média da nossa variável é 5.

Passo 5

A próxima etapa é calcular a variância. A variância mede o quanto os valores da variável aleatória se afastam da média. A fórmula para a variância é:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, vamos calcular E(X^2):
E(X^2) = sumi=1^n xi^2 cdot P(X = xi) = 15(1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2) = 15(1 + 9 + 25 + 49 + 81) = 15(165) = 33

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da variância:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 33 - 5^2 = 33 - 25 = 8

Resposta

A variância da variável aleatória X é Var(X) = 8.

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