Num teste do tipo certo - errado, com 10 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar no mínimo 8 perguntas?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um teste com 10 perguntas onde cada resposta pode ser certa ou errada. Queremos descobrir a probabilidade de um aluno, que está respondendo aleatoriamente, acertar pelo menos 8 perguntas. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de Probabilidade Binomial, que é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (neste caso, certo ou errado).
Passo 2
A Probabilidade Binomial é calculada usando a fórmula:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (10 perguntas).
- $ k $ é o número de sucessos desejados (neste caso, 8, 9 ou 10 acertos).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (como as respostas são ao acaso, $ p = 0,5 $).
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de acertar exatamente 8, 9 e 10 perguntas e depois somar essas probabilidades para obter a probabilidade de acertar pelo menos 8 perguntas.
Primeiro, calculamos para $ k = 8 $:
Calculando o coeficiente binomial:
Portanto:
Passo 4
Agora, para $ k = 9 $:
Calculando o coeficiente binomial:
Portanto:
Passo 5
Por fim, para $ k = 10 $:
Calculando o coeficiente binomial:
Portanto:
Resposta
Somando as probabilidades:
Então, a probabilidade de um aluno acertar no mínimo 8 perguntas respondendo ao acaso é de aproximadamente 5,47%.