Num teste do tipo certo - errado, com 10 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar no mínimo 8 perguntas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um teste com 10 perguntas onde cada resposta pode ser certa ou errada. Queremos descobrir a probabilidade de um aluno, que está respondendo aleatoriamente, acertar pelo menos 8 perguntas. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de Probabilidade Binomial, que é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (neste caso, certo ou errado).

Passo 2

A Probabilidade Binomial é calculada usando a fórmula:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (10 perguntas).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (neste caso, 8, 9 ou 10 acertos).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (como as respostas são ao acaso, $ p = 0,5 $).

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de acertar exatamente 8, 9 e 10 perguntas e depois somar essas probabilidades para obter a probabilidade de acertar pelo menos 8 perguntas.
Primeiro, calculamos para $ k = 8 $:
k = 8
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 8) = binom108 (0,5)^8 (1-0,5)^2 = binom108 (0,5)^10
Portanto:
binom108 = 10!8!2! = 45

Passo 4

Agora, para $ k = 9 $:
k = 9
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 9) = binom109 (0,5)^9 (1-0,5)^1 = binom109 (0,5)^10
Portanto:
binom109 = 10!9!1! = 10

Passo 5

Por fim, para $ k = 10 $:
k = 10
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 10) = binom1010 (0,5)^10 (1-0,5)^0 = binom1010 (0,5)^10
Portanto:
binom1010 = 1

Resposta

Somando as probabilidades:
P(X >= 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) approx 0,0439 + 0,0098 + 0,0010 = 0,0547
Então, a probabilidade de um aluno acertar no mínimo 8 perguntas respondendo ao acaso é de aproximadamente 5,47%.

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