As notas do Teste de Aptidão Escolar (Scholastic Aptitude Test - SAT), um exame exigido para admissão nas universidades americanas - teste semelhante ao ENEM - tem tradicionalmente distribuição normal com uma média mu=500 e desvio-padrão sigma=100. Calcule a probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente obter:
a) nota superior a 650 pontos.
b) nota inferior a 400 pontos.
c) notas entre 300 e 700 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente está lidando com as notas do SAT, que seguem uma distribuição normal com média mu = 500 e desvio-padrão sigma = 100. O que a gente precisa calcular é a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ter:
a) Uma nota acima de 650 pontos.
b) Uma nota abaixo de 400 pontos.
c) Uma nota entre 300 e 700 pontos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e a tabela Z, que nos ajuda a encontrar essas probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a distribuição normal. Ela é simétrica e em forma de sino, com a maioria dos valores próximos da média. O desvio-padrão nos diz o quanto os valores se espalham em torno dessa média.
Para calcular as probabilidades, a gente vai padronizar os valores usando a fórmula do Z-score:
Z = X - musigma
Isso transforma o nosso valor X em uma posição relativa na distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio-padrão 1.

Passo 3

Vamos começar com a parte a): calcular a probabilidade de uma nota ser superior a 650 pontos.
Primeiro, aplicamos a fórmula do Z-score:
Z = 650 - 500100 = 1,5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de Z > 1,5. Olhando na tabela Z, vemos que a área à direita de Z = 1,5 é aproximadamente 0,0668, ou seja, 6,68%.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b): calcular a probabilidade de uma nota ser inferior a 400 pontos.
Aplicamos novamente a fórmula do Z-score:
Z = 400 - 500100 = -1
Queremos a probabilidade de Z < -1. Pela tabela Z, isso corresponde a aproximadamente 0,1587, ou 15,87%.

Passo 5

Por fim, na parte c): calcular a probabilidade de uma nota estar entre 300 e 700 pontos.
Primeiro, calculamos os Z-scores para ambos os extremos:
Z700 = 700 - 500100 = 2
Z300 = 300 - 500100 = -2
Agora, encontramos as probabilidades correspondentes:
  • Para Z < 2, a probabilidade é cerca de 0,9772 (97,72%).
  • Para Z < -2, a probabilidade é cerca de 0,0228 (2,28%).
A probabilidade de estar entre 300 e 700 é a diferença entre essas duas:
0,9772 - 0,0228 = 0,9544 ou 95,44%

Resposta

a) A probabilidade de obter uma nota superior a 650 pontos é aproximadamente 6,68%.
b) A probabilidade de obter uma nota inferior a 400 pontos é aproximadamente 15,87%.
c) A probabilidade de obter uma nota entre 300 e 700 pontos é aproximadamente 95,44%.

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