As notas do Teste de Aptidão Escolar (Scholastic Aptitude Test - SAT), um exame exigido para admissão nas universidades americanas - teste semelhante ao ENEM - tem tradicionalmente distribuição normal com uma média
e desvio-padrão
. Calcule a probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente obter:
a) nota superior a 650 pontos.
b) nota inferior a 400 pontos.
c) notas entre 300 e 700 pontos.
a) nota superior a 650 pontos.
b) nota inferior a 400 pontos.
c) notas entre 300 e 700 pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente está lidando com as notas do SAT, que seguem uma distribuição normal com média
e desvio-padrão
. O que a gente precisa calcular é a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ter:
a) Uma nota acima de 650 pontos.
b) Uma nota abaixo de 400 pontos.
c) Uma nota entre 300 e 700 pontos.
a) Uma nota acima de 650 pontos.
b) Uma nota abaixo de 400 pontos.
c) Uma nota entre 300 e 700 pontos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e a tabela Z, que nos ajuda a encontrar essas probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como funciona a distribuição normal. Ela é simétrica e em forma de sino, com a maioria dos valores próximos da média. O desvio-padrão nos diz o quanto os valores se espalham em torno dessa média.
Para calcular as probabilidades, a gente vai padronizar os valores usando a fórmula do Z-score:
Isso transforma o nosso valor
em uma posição relativa na distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio-padrão 1.
Passo 3
Vamos começar com a parte a): calcular a probabilidade de uma nota ser superior a 650 pontos.
Primeiro, aplicamos a fórmula do Z-score:
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de
. Olhando na tabela Z, vemos que a área à direita de
é aproximadamente 0,0668, ou seja, 6,68%.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b): calcular a probabilidade de uma nota ser inferior a 400 pontos.
Aplicamos novamente a fórmula do Z-score:
Queremos a probabilidade de
. Pela tabela Z, isso corresponde a aproximadamente 0,1587, ou 15,87%.
Passo 5
Por fim, na parte c): calcular a probabilidade de uma nota estar entre 300 e 700 pontos.
Primeiro, calculamos os Z-scores para ambos os extremos:
Agora, encontramos as probabilidades correspondentes:
- Para
, a probabilidade é cerca de 0,9772 (97,72%). - Para
, a probabilidade é cerca de 0,0228 (2,28%).
A probabilidade de estar entre 300 e 700 é a diferença entre essas duas:
Resposta
a) A probabilidade de obter uma nota superior a 650 pontos é aproximadamente 6,68%.
b) A probabilidade de obter uma nota inferior a 400 pontos é aproximadamente 15,87%.
c) A probabilidade de obter uma nota entre 300 e 700 pontos é aproximadamente 95,44%.