Os registros de uma pequena empresa indicam que 30 % das faturas expedidas são pagas após o vencimento. De 10 faturas emitidas, qual a probabilidade de exatamente 3 serem pagas em atraso?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre probabilidade. A gente sabe que 30% das faturas são pagas depois do vencimento. A pergunta é: qual é a chance de, de 10 faturas emitidas, exatamente 3 serem pagas em atraso? Vamos usar a probabilidade binomial para isso, que é ótima para situações com duas possibilidades (como pagar no prazo ou atrasar).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade binomial. Ela calcula a chance de ocorrer um certo número de “sucessos” (neste caso, faturas pagas em atraso) em um número fixo de tentativas (as 10 faturas), com a mesma probabilidade de sucesso em cada tentativa.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (10 faturas).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (3 faturas atrasadas).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (30% ou 0,3).

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial binomnk:
binom103 = 10!3!(10-3)! = 10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 120
  1. Probabilidade de exatamente 3 sucessos p^k:
0,3^3 = 0,027
  1. Probabilidade de 7 fracassos (1-p)^n-k:
0,7^7 approx 0,0823543

Passo 4

Agora, multiplicamos tudo para encontrar a probabilidade:
P(X = 3) = 120 times 0,027 times 0,0823543 approx 0,26695

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 das 10 faturas serem pagas em atraso é de aproximadamente 26,7%.

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