Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a
a) √2√3.
b) √2 √3.
c) √2√3 .
d) √2 √3 .

Passo 1

O enunciado da questão nos pede para encontrar a razão entre o comprimento das arestas de um tetraedro regular e de um cubo, sabendo que ambos têm áreas de superfície iguais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados à área de superfície de sólidos tridimensionais, especificamente de tetraedros regulares e cubos. Além disso, vamos utilizar fórmulas matemáticas para calcular essas áreas e comparar as arestas dos dois sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de superfície de um cubo. Um cubo tem 6 faces iguais, e cada face é um quadrado com lado de comprimento $ a $. A área de uma face é $ a^2 $, então a área total do cubo é:
a

Passo 3

Agora, vamos calcular a área de superfície de um tetraedro regular. Um tetraedro regular tem 4 faces iguais, e cada face é um triângulo equilátero com lado de comprimento $ b $. A área de um triângulo equilátero é dada por:
b â
Como são 4 triângulos, a área total do tetraedro é:
Atriângulo = raiz34 b^2

Passo 4

Segundo o enunciado, as áreas de superfície do cubo e do tetraedro são iguais. Portanto, podemos igualar as duas fórmulas:
6a^2 = raiz3 b^2

Passo 5

Queremos encontrar a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e do cubo, isto é, $ \frac{b}{a} $. Vamos isolar esta razão na equação que montamos:
ba

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
6raiz3 = 6raiz33 = 2raiz3
Então,
b = a raiz2raiz3 = a (raiz2 cdot raiz[4]3)
Portanto, a razão $ \frac{b}{a} $ é:
ba

Resposta

A razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e do cubo é igual a $ \sqrt{2\sqrt{3}} $. A opção correta é a letra a).

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