Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a
a) √2√3.
b) √2 √3.
c) √2√3 .
d) √2 √3 .
a) √2√3.
b) √2 √3.
c) √2√3 .
d) √2 √3 .
Passo 1
O enunciado da questão nos pede para encontrar a razão entre o comprimento das arestas de um tetraedro regular e de um cubo, sabendo que ambos têm áreas de superfície iguais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados à área de superfície de sólidos tridimensionais, especificamente de tetraedros regulares e cubos. Além disso, vamos utilizar fórmulas matemáticas para calcular essas áreas e comparar as arestas dos dois sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de superfície de um cubo. Um cubo tem 6 faces iguais, e cada face é um quadrado com lado de comprimento $ a $. A área de uma face é $ a^2 $, então a área total do cubo é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área de superfície de um tetraedro regular. Um tetraedro regular tem 4 faces iguais, e cada face é um triângulo equilátero com lado de comprimento $ b $. A área de um triângulo equilátero é dada por:
Como são 4 triângulos, a área total do tetraedro é:
Passo 4
Segundo o enunciado, as áreas de superfície do cubo e do tetraedro são iguais. Portanto, podemos igualar as duas fórmulas:
Passo 5
Queremos encontrar a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e do cubo, isto é, $ \frac{b}{a} $. Vamos isolar esta razão na equação que montamos:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então,
Portanto, a razão $ \frac{b}{a} $ é:
Resposta
A razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e do cubo é igual a $ \sqrt{2\sqrt{3}} $. A opção correta é a letra a).