Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que:
I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela.
II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola vermelha passa a ser 1/2. I
II. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola branca passa a ser 1/2. A quantidade de bolas brancas na urna é
I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela.
II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola vermelha passa a ser 1/2. I
II. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola branca passa a ser 1/2. A quantidade de bolas brancas na urna é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de probabilidade envolvendo bolas de diferentes cores numa urna. A gente precisa descobrir quantas bolas brancas existem nessa urna, usando as informações sobre as probabilidades de retirar bolas vermelhas e amarelas e como elas mudam quando retiramos algumas bolas. Vamos usar conceitos básicos de probabilidade e equações para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar as quantidades de cada cor de bola de:
- $ A $ para amarelas,
- $ B $ para brancas,
- $ V $ para vermelhas.
O total de bolas na urna é $ A + B + V $.
Passo 3
Segundo a afirmação I, a probabilidade de tirar uma bola vermelha é o dobro da probabilidade de tirar uma bola amarela. Em termos matemáticos:
Simplificando essa equação:
Isso nos diz que há o dobro de bolas vermelhas comparado às amarelas.
Passo 4
Agora, olhando para a afirmação II, se retirarmos 4 bolas amarelas, a nova quantidade de amarelas será $ A - 4 $ e o total de bolas será $ (A - 4) + B + V $. A probabilidade de tirar uma vermelha agora é $ \frac{V}{(A - 4) + B + V} = \frac{1}{2} $. Substituindo $ V = 2A $:
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por $ 3A + B - 4 $:
Subtraindo $ 3A $ de ambos os lados:
Então, $ B = A + 4 $.
Passo 5
Finalmente, usando a afirmação III, se retirarmos 12 bolas vermelhas, a nova quantidade de vermelhas será $ V - 12 $ e o total de bolas será $ A + B + (V - 12) $. A probabilidade de tirar uma branca agora é $ \frac{B}{A + B + V - 12} = \frac{1}{2} $. Sabendo que $ V = 2A $ e $ B = A + 4 $:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por $ 4A - 8 $:
Distribuindo:
Subtraindo $ 2A $ de ambos os lados:
Adicionando 8 a ambos os lados:
Dividindo por 2:
Então, $ B = A + 4 = 8 + 4 = 12 $.
Resposta
A quantidade de bolas brancas na urna é 12.