2.5 The velocity field
, where
, can be <br> interpreted to represent flow in a corner. Find an equation <br> for the flow streamlines. Explain the relevance of
. Plot several streamlines in the first quadrant, including the one <br> that passes through the point
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um campo de velocidade dado por
, com
. A ideia é interpretar esse campo como um fluxo em um canto e encontrar a equação das linhas de corrente desse fluxo. Além disso, precisamos explicar por que o valor de
é importante e desenhar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo a que passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e como relacioná-las ao campo de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Linhas de corrente são trajetórias imaginárias que mostram a direção do fluxo do fluido em cada ponto. Matemáticamente, elas são curvas cuja tangente em cada ponto coincide com o vetor velocidade naquele ponto. Para encontrar a equação das linhas de corrente, usamos a relação diferencial:
No nosso caso,
e
. Então,
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial simples:
Vamos resolver essa equação separando as variáveis. Podemos reescrever:
Integrando ambos os lados:
O que nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos simplificar a equação que obtivemos:
Podemos reescrever isso como:
Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos chamar de
, então temos:
Essa é a equação geral das linhas de corrente.
Passo 5
Agora, precisamos interpretar a constante
e a relevância de
. Observamos que a constante
já foi incorporada no processo de derivação e cancelou-se ao dividir
por
. Isso significa que a forma das linhas de corrente não depende diretamente do valor de
, mas a taxa com que o fluido se move ao longo dessas linhas está relacionada a
. Portanto,
controla a intensidade do fluxo, mas não a geometria das linhas de corrente.
Passo 6
Por fim, vamos desenhar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante. A equação que encontramos é
. Escolhendo diferentes valores para
, obtemos diferentes linhas de corrente:
- Para
, temos , que corresponde aos eixos e . - Para
, a equação é , que é uma hipérbole no primeiro e terceiro quadrantes. - Para
, temos , outra hipérbole similar. - E assim por diante.
A linha de corrente que passa pelo ponto
é simplesmente
, que são os próprios eixos coordenados.
Resposta
A equação das linhas de corrente é
, onde
é uma constante. O parâmetro
determina a intensidade do fluxo, mas não a forma das linhas de corrente. No primeiro quadrante, as linhas de corrente são hipérboles como
,
, etc., incluindo a linha que passa por
, que corresponde a
.
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, and the test-section <br> entrance velocity is
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, compute (a)
, (b)
, and ©
, in
.
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