2.5 The velocity field V=A x i-A y j, where A=2 s^-1, can be <br> interpreted to represent flow in a corner. Find an equation <br> for the flow streamlines. Explain the relevance of A. Plot several streamlines in the first quadrant, including the one <br> that passes through the point (x, y)=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um campo de velocidade dado por V = A x i - A y j, com A = 2 s^-1. A ideia é interpretar esse campo como um fluxo em um canto e encontrar a equação das linhas de corrente desse fluxo. Além disso, precisamos explicar por que o valor de A é importante e desenhar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo a que passa pelo ponto (0,0). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e como relacioná-las ao campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Linhas de corrente são trajetórias imaginárias que mostram a direção do fluxo do fluido em cada ponto. Matemáticamente, elas são curvas cuja tangente em cada ponto coincide com o vetor velocidade naquele ponto. Para encontrar a equação das linhas de corrente, usamos a relação diferencial:
dydx = VyVx
No nosso caso, Vx = A x e Vy = -A y. Então,
dydx = -A yA x = -yx

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial simples:
dydx = -yx
Vamos resolver essa equação separando as variáveis. Podemos reescrever:
dyy = -dxx
Integrando ambos os lados:
integral 1y dy = -integral 1x dx
O que nos dá:
ln|y| = -ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos simplificar a equação que obtivemos:
ln|y| = -ln|x| + C
Podemos reescrever isso como:
ln|y| + ln|x| = C
Usando propriedades dos logaritmos:
ln|x y| = C
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|x y| = e^C
Como e^C é apenas uma constante positiva, podemos chamar de K = e^C, então temos:
x y = K
Essa é a equação geral das linhas de corrente.

Passo 5

Agora, precisamos interpretar a constante K e a relevância de A. Observamos que a constante A já foi incorporada no processo de derivação e cancelou-se ao dividir Vy por Vx. Isso significa que a forma das linhas de corrente não depende diretamente do valor de A, mas a taxa com que o fluido se move ao longo dessas linhas está relacionada a A. Portanto, A controla a intensidade do fluxo, mas não a geometria das linhas de corrente.

Passo 6

Por fim, vamos desenhar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante. A equação que encontramos é x y = K. Escolhendo diferentes valores para K, obtemos diferentes linhas de corrente:
  • Para K = 0, temos x y = 0, que corresponde aos eixos x e y.
  • Para K = 1, a equação é x y = 1, que é uma hipérbole no primeiro e terceiro quadrantes.
  • Para K = 2, temos x y = 2, outra hipérbole similar.
  • E assim por diante.
A linha de corrente que passa pelo ponto (0,0) é simplesmente x y = 0, que são os próprios eixos coordenados.

Resposta

A equação das linhas de corrente é x y = K, onde K é uma constante. O parâmetro A determina a intensidade do fluxo, mas não a forma das linhas de corrente. No primeiro quadrante, as linhas de corrente são hipérboles como x y = 1, x y = 2, etc., incluindo a linha que passa por (0,0), que corresponde a x y = 0.

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