2.5 The velocity field , where , can be <br> interpreted to represent flow in a corner. Find an equation <br> for the flow streamlines. Explain the relevance of . Plot several streamlines in the first quadrant, including the one <br> that passes through the point .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um campo de velocidade dado por , com . A ideia é interpretar esse campo como um fluxo em um canto e encontrar a equação das linhas de corrente desse fluxo. Além disso, precisamos explicar por que o valor de é importante e desenhar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo a que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e como relacioná-las ao campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Linhas de corrente são trajetórias imaginárias que mostram a direção do fluxo do fluido em cada ponto. Matemáticamente, elas são curvas cuja tangente em cada ponto coincide com o vetor velocidade naquele ponto. Para encontrar a equação das linhas de corrente, usamos a relação diferencial:
No nosso caso, e . Então,

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial simples:
Vamos resolver essa equação separando as variáveis. Podemos reescrever:
Integrando ambos os lados:
O que nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos simplificar a equação que obtivemos:
Podemos reescrever isso como:
Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como é apenas uma constante positiva, podemos chamar de , então temos:
Essa é a equação geral das linhas de corrente.

Passo 5

Agora, precisamos interpretar a constante e a relevância de . Observamos que a constante já foi incorporada no processo de derivação e cancelou-se ao dividir por . Isso significa que a forma das linhas de corrente não depende diretamente do valor de , mas a taxa com que o fluido se move ao longo dessas linhas está relacionada a . Portanto, controla a intensidade do fluxo, mas não a geometria das linhas de corrente.

Passo 6

Por fim, vamos desenhar algumas linhas de corrente no primeiro quadrante. A equação que encontramos é . Escolhendo diferentes valores para , obtemos diferentes linhas de corrente:
  • Para , temos , que corresponde aos eixos e .
  • Para , a equação é , que é uma hipérbole no primeiro e terceiro quadrantes.
  • Para , temos , outra hipérbole similar.
  • E assim por diante.
A linha de corrente que passa pelo ponto é simplesmente , que são os próprios eixos coordenados.

Resposta

A equação das linhas de corrente é , onde é uma constante. O parâmetro determina a intensidade do fluxo, mas não a forma das linhas de corrente. No primeiro quadrante, as linhas de corrente são hipérboles como , , etc., incluindo a linha que passa por , que corresponde a .

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