Toda dízima periódica é um número racional, pois pode ser escrita como uma fração de numerador e denominador. Como o período da dízima periódica simples apresenta apenas um algarismo (2), multiplicamos os dois membros inteiros. Veja como obter a fração que gera uma dízima. Vamos obter a fração geratriz da dízima 0,222… periódica, denominada fração geratriz. Escrevemos a seguinte equação: X = 0,222… Subtraímos 10x = 2,222… de X. Portanto, 0,222… = 2/9. Usando esse método, prove que 0,9999… = 1.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e entender quais conceitos vamos precisar. O problema quer que a gente use o método de transformar dízimas periódicas em frações para provar que
. Para isso, vamos precisar saber o que é uma dízima periódica, como representá-la em forma de fração e aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a dízima periódica
de
. Assim:
Isso significa que
é igual a 0.9999… infinitamente.
Passo 3
Como o período da dízima é de um algarismo (o 9), vamos multiplicar ambos os lados da equação por 10 para deslocar a vírgula decimal:
Agora, temos duas equações:
- $ X = 0,\overline{9} $
- $ 10X = 9,\overline{9} $
Passo 4
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a parte decimal:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor de
, dividimos ambos os lados da equação por 9:
Resposta
Portanto,
.