Toda dízima periódica é um número racional, pois pode ser escrita como uma fração de numerador e denominador. Como o período da dízima periódica simples apresenta apenas um algarismo (2), multiplicamos os dois membros inteiros. Veja como obter a fração que gera uma dízima. Vamos obter a fração geratriz da dízima 0,222… periódica, denominada fração geratriz. Escrevemos a seguinte equação: X = 0,222… Subtraímos 10x = 2,222… de X. Portanto, 0,222… = 2/9. Usando esse método, prove que 0,9999… = 1.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e entender quais conceitos vamos precisar. O problema quer que a gente use o método de transformar dízimas periódicas em frações para provar que 0,9 = 1. Para isso, vamos precisar saber o que é uma dízima periódica, como representá-la em forma de fração e aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a dízima periódica 0,9 de X. Assim:
X = 0,9
Isso significa que X é igual a 0.9999… infinitamente.

Passo 3

Como o período da dízima é de um algarismo (o 9), vamos multiplicar ambos os lados da equação por 10 para deslocar a vírgula decimal:
10X = 9,9
Agora, temos duas equações:
  1. $ X = 0,\overline{9} $
  2. $ 10X = 9,\overline{9} $

Passo 4

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a parte decimal:
10X - X = 9,9 - 0,9
Isso simplifica para:
9X = 9

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de X, dividimos ambos os lados da equação por 9:
X = 99
X = 1

Resposta

Portanto, 0,9 = 1.

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