A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nesses condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?
a) 70
b) 35
c) 45
d) 55
a) 70
b) 35
c) 45
d) 55
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo de oito pessoas e precisa formar uma comissão de quatro integrantes. O lance é que dois deles, Gustavo e Danilo, não se dão muito bem, então eles não podem estar juntos na comissão. A gente vai usar combinatória para resolver isso, especificamente o conceito de combinações, que serve para contar de quantas formas podemos escolher um grupo a partir de um conjunto maior sem se importar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quantas maneiras existem para formar uma comissão de quatro pessoas sem nenhuma restrição. Para isso, usamos a fórmula de combinação:
Então, sem restrições, temos 70 maneiras de formar a comissão.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas dessas comissões incluem tanto o Gustavo quanto o Danilo juntos. Se eles estão juntos na comissão, já temos 2 vagas preenchidas, e precisamos escolher mais 2 pessoas das 6 restantes. A fórmula de combinação fica:
Então, há 15 maneiras de formar uma comissão que inclui tanto o Gustavo quanto o Danilo.
Passo 4
Como não queremos que o Gustavo e o Danilo estejam juntos na comissão, vamos subtrair as comissões indesejadas das comissões totais:
Resposta
Existem 55 maneiras distintas de formar a comissão sem que o Gustavo e o Danilo estejam juntos.