A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nesses condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?
a) 70
b) 35
c) 45
d) 55

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo de oito pessoas e precisa formar uma comissão de quatro integrantes. O lance é que dois deles, Gustavo e Danilo, não se dão muito bem, então eles não podem estar juntos na comissão. A gente vai usar combinatória para resolver isso, especificamente o conceito de combinações, que serve para contar de quantas formas podemos escolher um grupo a partir de um conjunto maior sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantas maneiras existem para formar uma comissão de quatro pessoas sem nenhuma restrição. Para isso, usamos a fórmula de combinação:
binom84 = 8!4! times (8-4)! = 8 times 7 times 6 times 54 times 3 times 2 times 1 = 70
Então, sem restrições, temos 70 maneiras de formar a comissão.

Passo 3

Agora, vamos calcular quantas dessas comissões incluem tanto o Gustavo quanto o Danilo juntos. Se eles estão juntos na comissão, já temos 2 vagas preenchidas, e precisamos escolher mais 2 pessoas das 6 restantes. A fórmula de combinação fica:
binom62 = 6!2! times (6-2)! = 6 times 52 times 1 = 15
Então, há 15 maneiras de formar uma comissão que inclui tanto o Gustavo quanto o Danilo.

Passo 4

Como não queremos que o Gustavo e o Danilo estejam juntos na comissão, vamos subtrair as comissões indesejadas das comissões totais:
70 (total) - 15 (com Gustavo e Danilo juntos) = 55

Resposta

Existem 55 maneiras distintas de formar a comissão sem que o Gustavo e o Danilo estejam juntos.

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